26.3解直角三角形基础巩固JICHUGONGGU1．下列命题：①所有锐角三角函数值都为正数；②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素；③在Rt△ABC中，∠B＝90°，则sin2A＋cos2A＝1；④在Rt△ABC中，∠A＝90°，则tanC·sinC＝cosC.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2，则tan∠CAD的值是__________．(第2题图)(第3题图)4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，tanB＝，则△ABC的面积是__________cm2.5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝10，∠A＝60°.解这个直角三角形．(第4题图)(第5题图)6．已知在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，c－b＝4－2.解这个直角三角形．能力提升NENGLITISHENG7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D，垂足为E，则sin∠CAD＝()A．B．C．D．18．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cos∠DAC.(1)求证：AC＝BD；(2)若sinC＝，BC＝12，求AD的长．(第7题图)(第8题图)2参考答案1．C点拨：本题采用排除法，根据三角函数、解直角三角形的有关定义进行．2．A点拨：根据勾股定理可得，AB＝＝＝3，由题意，可知∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B.∴sin∠ACD＝sin∠B＝＝.故选A.3．2点拨：CD＝BD＝4，AD＝2，根据勾股定理求出AC＝2，则tan∠CAD＝＝2.4．12点拨：∵tanB＝，∴＝＝，∴AC＝6cm.∴△ABC的面积是4×6÷2＝12(cm2)．5．解：∠B＝30°，AB＝20，BC＝10.6．解：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.∵sin60°＝＝，∴b＝c.∵c－b＝4－2，∴c－c＝4－2.解得c＝4，b＝2.∴a＝＝2.7．A点拨：本题综合应用了三角形相似和解直角三角形，由BC＝3，AC＝，得AB＝＝2，由DE垂直平分AB，得AE＝EB＝，设DE与AC交于点O，则△AOE∽△ABC，＝，即＝，得AO＝＝，同理得CD＝1，AD＝BD＝3＋1＝4，sin∠CAD＝＝.故选A.8．(1)证明：∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中，∵tanB＝，cos∠DAC＝，tanB＝cos∠DAC，∴＝.∴AC＝BD.(2)解：在Rt△ADC中，sinC＝，故可设AD＝12k，AC＝13k.∴CD＝＝5k.∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，∴BC＝13k＋5k＝18k.∵BC＝12，∴18k＝12，∴k＝.∴AD＝12k＝12×＝8.3
