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高一数学三角函数的最值VIP免费

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三角函数的最值一、基本知识:掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值,及取得最值的条件;掌握给定区间上三角函数的最值的求法;能运用三角恒等变形,将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题.二、例题分析:例1求函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值,并求出此时x的值.解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin(2x+)+2当2x+=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)时,ymax=+2.点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法,asinx+bcosx=sin(x+φ).例2若θ∈[-,],求函数y=cos(+θ)+sin2θ的最小值.分析在函数表达式中,含有两个角和两个三角函数名称,若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子,则问题可得到简化.解y=cos(+θ)-cos[2(θ+)]=cos(+θ)-[2cos2(θ+)-1]=-2cos2(θ+)+cos(+θ)+1=-2[cos2(θ+)-cos(θ+)]+1=-2[cos(θ+)-]2+.∵θ∈[-,],∴θ+∈[,].∴≤cos(θ+)≤,∴y最小值=.点评(1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即f(sinx)或g(cosx)),是常见的转化目标;(2)形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值,常运用sinx,cosx的有界性,通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题;(3)对于y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值的求法,应先求出t=ωx+φ的值域,然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值.例3试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.分析由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示,所以令sinx+cosx=t,则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题.解令t=sinx+cosx,则y=t+t2+1=(t+)2+,且t∈[-,],∴ymin=,ymax=3+.用心爱心专心点评注意sinx+cosx与sinxcosx的关系,运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题.三、训练反馈:1.函数y=的最大值是(B)A.-1B.+1C.1-D.-1-2.若2α+β=π,则y=cosβ-6sinα的最大值和最小值分别为(D)A.7,5B.7,-C.5,-D.7,-53.当0≤x≤时,函数f(x)=的(A)A.最大值为2,最小值为B.最大值为2,最小值为0C.最大值为2,最小值不存在D.最大值不存在,最小值为04.已知关于x的方程cos2x-sinx+a=0,若0<x<时方程有解,则a的取值范围是(B)A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,0]D.(-∞,-)5.要使sinα-cosα=有意义,则m的取值范围是.-1≤m≤6.若f(x)=2sinωx(0<ω<1,在区间[0,]上的最大值为,则ω=.7.当x∈R时,函数y=2sin(2x+)的最大值为,最小值为,当x∈〔-,〕时函数y的最大值为,最小值为.2,-2,,-用心爱心专心8.函数y=sinx-cosx的最大值为,最小值为.2,-29.函数y=cos2x+sinx+1的值域为.[0,]10.y=sinxcosx+sinx+cosx,求x∈[0,]时函数y的最大值.+11.已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0,最小值为-4,若实数a>0,求a,b的值.a=2,b=-212.已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+a,若x∈[0,],且|f(x)|<2,求a的取值范围.-2<a<-1用心爱心专心

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