高一数学3.3幂函数3.4函数的应用(II)人教实验版(B)【本讲教育信息】一.教学内容:3.3幂函数3.4函数的应用(II)二.教学目的1、通过实例,了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况。2、利用计算工具比较指数函数,对数函数以及幂函数的增长差异,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。3、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数)的实例,了解函数模型的广泛应用。三.教学重点、难点重点:(1)幂函数的定义、图象和性质(2)建立数学模型难点:(1)幂函数的图象的位置和形状变化(2)建立数学模型四.知识分析(一)关于幂函数1.幂函数的定义:一般地,我们把形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数。①在这里我们只讨论a是有理数时的简单的幂函数。②掌握幂函数的关键一定要明确“形如的函数”这句话的重要作用。函数“”等都是幂函数,而象“”等就不是幂函数。足见幂函数对格式要求之严格。③对于幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的,幂指数不同,定义域和值域也不同:(1)当指数n是正整数时,定义域是R。(2)当指数n是正分数时,设(p,q是互质的正整数,q>1),则。如果q是奇数,定义域是R;如果q是偶数,定义域是[0,+∞)。(3)当指数n是负整数时,设显然x不能为零,所以定义域是(4)当指数n是负分数时,设(p,q是互质的正整数,q>1),则。如果q是奇数,定义域是;用心爱心专心如果q是偶数,定义域是(0,+∞)。2.幂函数的图象与性质幂函数部分的内容是学习的难点,要突破这个难点,关键是如何快速地画出能基本反映幂函数图象特征的草图,因为有了草图,有关幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质就会一目了然,而且也有利于培养、形成数形结合的思维习惯。(1)第一象限内图象规律总结(结合图形):①n>1时,过(0,0)、(1,1)的抛物线型,下凸递增。②n=1时,过(0,0)、(1,1)的射线。③01的图象都在③号部分里,分布得相当有规律。在直线x=1的左侧,同样有类似的规律,同学们可以自己发现。其实有上面的规律足够用了。(2)整个图象的规律:设(p,q是互质,p∈Z,q∈N)①任何幂函数在第一象限必有图象,在第四象限必无图象;②时,函数非奇非偶,只在第一象限有图象;③时,函数是偶函数,图象在第一、二象限都有图象(坐标轴上也可能有)并关于y轴对称。④时,函数是奇函数,图象在第一、三象限都有图象(坐标轴上也可能有)并关于原点对称。(3)快速作幂函数图象的步骤:不管n取什么有理数,幂函数的公共定义域为(0,+∞),可见幂函数在第一象限内总有图象,因此作幂函数图象应先从第一象限入手:①先作出第一象限内的图象;用心爱心专心②若幂函数的定义域为(0,+∞)或[0,+∞],作图已经完成;若幂函数在(-∞,0)或(-∞,0)上也有意义,则应先判断函数的奇偶性,再利用奇函数或偶函数的性质作出在(-∞,0)或(-∞,0)部分的图象。(4)掌握下面几个典型的幂函数的图象和性质是很有必要的:函数y=xnn<0n=0定义域{x|x≠0}(0,+∞){x|x≠0}{x|x≠0}值域{y|y≠0}(0,+∞)(0,+∞){y|y=1}奇偶性奇函数非奇非偶偶函数偶函数单调性(-∞,0)↓,(0,+∞)↓(0,+∞)↓(-∞,0)↑,(0,+∞)↓不增不减图象01R[0,+∞)RRRR[0,+∞)R[0,+∞)R奇函数非奇非偶奇函数偶函数奇函数(-∞,+∞)↑[0,+∞)↑(-∞,+∞)↑(-∞,0]↓,[0,+∞)↑(-∞,+∞)↑(二)关于函数的应用数学来源于生活,又服务于生活,在生活中的形形色色的数据处理需要数学模型,对于用心爱心专心事物的发展和预测也离不开数学模型的建立,所以数学模型是提出问...