2016年北京市坤博英才高考数学猜题卷（理科）一．选择题（共题，每小题5分）1．已知递增等差数列{an}，满足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n项和，则S9=（）A．16B．20C．27D．402．已知双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．66B．64C．48D．323．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）4．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）+k（A＞0，k＞0）的最大值为4，最小值为2，且f（x0）=2，则f（x0+）=（）A．1B．2C．3D．45．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=20，a7=4a3，则S10=（）A．110B．115C．120D．1256．下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上单调递增的为（）A．y=x3+1B．y=ln|x|C．y=x+D．y=x+sinx二．填空题（共题，每小题5分．）7．在2016年4月23日“世界读书日”到来之际，某单位对本单位全部200名员工平均每天的读书世界进行了调查，得到如图所示的频率分布直方图，根据该频率分步直方图，估计该单位每天平均读书时间在[1.5，2.5）之间的员工人数为．8．已知函数f（tanα）=sin2α+cos2α，则函数f（x）的值域为．9．已知变量x，y满足，若z=2x+3y的最大值为m，最小值为n，则m=．10．已知的展开式中含x4项的系数为30，则正实数a的值为．三．解答题（每题12分）11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F作直线l与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），O为坐标原点，若|AB|=4p，且OA⊥OB，且•=﹣9．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：y=x+m与抛物线C相切于点E，与圆（x+2）2+（y﹣）2=4交于点F，G，求•．12．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=2，AB=2CD=4，过C，D分别作AB的垂线，垂足分别为E，F，将△BCE，△ADF分别沿CE，DF向上翻折到△B′CE，△A′DF，使得两个三角形所在平面分别与平面ABCD垂直．连接AA′，A′B′，B′B．（1）求证：A′D∥平面CB′B；（2）求几何体AA′D﹣BB′C的体积；（3）求面AA′D与面BB′C所成角的余弦值．13．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线x+y=2与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过点F1且与椭圆C的长轴垂直，动直线l2与直线l1垂直，垂足为P，线段PF2的垂直平分线与直线l2交于点M，记M的轨迹为曲线D，设曲线D与x轴交于点Q，不同的两个动点R，S在曲线D上，且满足•=5．（i）求证：直线RS恒过定点；（ii）当直线RS与x轴正半轴相交时，求△QRS的面积的取值范围．14．已知函数f（x）=，数列{an}满足a1=1，an+1=f（an）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）（理）设bn=anan+1，数列{bn}的前n项和为Sn，若Sn＜对一切正整数n都成立，求最小的正整数m的值．（2）（文）设bn=×2n，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．2016年北京市坤博英才高考数学猜题卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共题，每小题5分）1．已知递增等差数列{an}，满足a22+16=a62，3a3+a5=0，Sn是前n项和，则S9=（）A．16B．20C．27D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式，【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为，3a3+a5=0，所以，解得或，因为数列{an}是递增数列，所以，所以．故选：C．2．已知双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|OP|=2，且|PF1|=2|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．66B．64C．48D．32【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质判断△F1PF2为直角三角形，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：由条件可知，双曲线的焦距为，由，故△F1PF2为直角三角形，由条件及双曲线的定义可得，解之得，故△PF1F2的面积为．故选：B．3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．...
