星期一(三角与立体几何问题)2017年____月____日1.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝(sinB－sinC，sinC－sinA)，b＝(sinB＋sinC，sinA)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b＝c·cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.解(1)因为a⊥b，所以sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0，即sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B，由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，所以cosB＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为c·cosA＝b，所以＝cosA＝，即b2＝c2－a2，又ac＝a2＋c2－b2，b＝2RsinB＝，解得a＝1，c＝2.所以S△ABC＝acsinB＝.2.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，PA⊂平面PAD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，从而CD⊥PD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，1且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.2
