星期日(40分附加题部分)2017年____月____日选做部分请同学从下面所给的四题中选定两题作答1.选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，且AB＝AD，E是CB延长线上一点，直线EA与圆O相切.求证：＝.证明连接AC，∵EA是圆O的切线，∴∠EAB＝∠ACB.∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠ACD＝∠EAB.∵圆O是四边形ABCD的外接圆，∴∠D＝∠ABE.∴△CDA∽△ABE.∴＝，∵AB＝AD，∴＝.2.选修4－2：矩阵与变换设矩阵M＝的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2＋y2＝1，求曲线C的方程.解由题意得矩阵M的特征多项式f(λ)＝(λ－a)(λ－1)，因为矩阵M有一个特征值为2，f(2)＝0，所以a＝2.所以M＝＝，即代入方程x2＋y2＝1，得(2x)2＋(2x＋y)2＝1，即曲线C的方程为8x2＋4xy＋y2＝1.3.选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求：(1)圆的普通方程；(2)圆的极坐标方程.解(1)圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)把代入圆的普通方程得圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ.4.选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a2－2a|，若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围.解因|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－(x－2)|＝3，所以f(x)的最小值为3－|a2－2a|，由题设，得|a2－2a|<3，解得a∈(－1，3).必做部分1.如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD＝DE＝2BF＝2.(1)求证：AC⊥EF；(2)求二面角C－EF－D的大小.(1)证明连接BD，∵FB∥ED，∴F，B，E，D共面，∵ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴ED⊥AC，又ABCD为正方形，∴BD⊥AC，而ED∩DB＝D，∴AC⊥平面DBFE，而EF⊂平面DBFE，∴AC⊥EF.(2)解如图建立空间直角坐标系.则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，E(0，0，2)，由(1)知AC为平面DBFE的法向量，即AC＝(－2，2，0)，又CE＝(0，－2，2)，CF＝(2，0，1)，设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则有即取z＝1，则x＝－，y＝1，∴n＝设二面角C－EF－D的大小为θ，则cos〈n，AC〉＝＝＝，又平面CEF与平面DBFE的二面角为锐角，所以θ＝.2.已知k，m∈N*，若存在互不相等的正整数a1，a2，…，am，使得a1a2，a2a3，…，am－1am，ama1同时小于k，则记f(k)为满足条件的m的最大值.(1)求f(6)的值；(2)对于给定的正整数n(n＞1)，(ⅰ)当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，求f(k)的解析式；(ⅱ)当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，求f(k)的解析式.解(1)由题意，取a1＝1，a2＝2，a1a2＜6，满足题意，若∃a3≥3，则必有a2a3≥6，不满足题意，综上所述，m的最大值为2，即f(6)＝2.(2)由题意，当n(n＋1)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，设A1＝{1，2，…，n}，A2＝{n＋1，n＋2，n＋3，…}，显然，∀ai，ai＋1∈A1时，满足aiai＋1≤n(n－1)＜n(n＋1)＜k，所以从集合A1中选出的ai至多有n个，∀aj，aj＋1∈A2时，ajaj＋1≥(n＋1)(n＋2)≥k，不符合题意，所以从集合A2中选出的aj必不相邻，又因为从集合A1中选出的ai至多有n个，所以从集合A2中选出的aj至多有n个，放置于从集合A1中选出的ai之间，所以f(k)≤2n.(ⅰ)当n(n＋2)＜k≤(n＋1)(n＋2)时，取一串数ai为：1，2n，2，2n－1，3，2n－2，…，n－1，n＋2，n，n＋1，或写成ai＝(1≤i≤2n)，此时aiai＋1≤n(n＋2)＜k(1≤i≤2n－1)，a2na1＝n＋1＜k，满足题意，所以f(k)＝2n.(ⅱ)当n(n＋1)＜k≤n(n＋2)时，从A1中选出的n个ai：1，2，…，n，考虑数n的两侧的空位，填入集合A2的两个数ap，aq，不妨设nap＞naq，则nap≥n(n＋2)≥k，与题意不符，所以f(k)≤2n－1，取一串数ai为1，2n－1，2，2n－2，3，2n－3，…，n－2，n＋2，n－1，n＋1，n或写成ai＝(1≤i≤2n－1)，此时aiai＋1≤n(n＋1)＜k(1≤i≤2n－2)，a2n－1a1＝n＜k，满足题意，所以f(k)＝2n－1.
