星期五(函数与导数问题)2017年____月____日已知函数f(x)＝ex，其中a∈R，e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；(2)关于x的不等式f(x)＜－ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；(3)讨论函数f(x)极值点的个数.解(1)由题意得f′(x)＝ex，因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，所以f′(0)＝1，解得a＝－1.(2)法一由f(x)＜－ex，得ex＜－ex，即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0对任意x∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x)a＞x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立，因为x＜2，所以a＞＝－(x－2)2，记g(x)＝－(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，所以a≥0，即a的取值范围是[0，＋∞).法二由f(x)＜－ex，得ex＜－ex，即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0在(－∞，2)上恒成立，因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)＜0，①当a≥0时，x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a≥0恒成立，所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意.②当a＜0时，记g(x)＝x2－4x＋3a＋4，有g(2)＝3a＜0，所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个实数根x1，x2，且x1＜2＜x2，原不等式等价于(x－2)(x－x1)(x－x2)＜0，解集为(－∞，x1)∪(2，x2)，与题设矛盾，所以a＜0不符合题意.综合①②可知，a的取值范围是[0，＋∞).(3)由题意得f′(x)＝ex，所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点.令g(x)＝x3－x2＋ax－a，①若f(x)有且只有一个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次，即g(x)为增函数或者g(x)的极值同号.当g(x)为增函数时，g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a＜1，且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，则x1，x2为x2－2x＋a＝0的两根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，所以g(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－x＋ax1－a＝－(2x1－a)－ax1＋ax1－a＝[(a－1)x1－a]，同理可得g(x2)＝[(a－1)x2－a]，1所以g(x1)g(x2)＝[(a－1)x1－a]·[(a－1)x2－a]≥0，化简得(a－1)2x1x2－a(a－1)(x1＋x2)＋a2≥0，所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1.所以当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；②若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0.综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点，当a＜0时，f(x)有三个极值点.2
