专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文一、填空题1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.解析由|a＋b|＝得|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，①又|a－b|＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，②由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.答案12.(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝__________；y＝__________.解析MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，∴x＝，y＝－.答案－3.已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________.解析由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°.答案90°4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).解析由已知，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知AB＋AC＝2AD，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心.答案重心5.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.解析因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案6.(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________.解析由题图可得，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB.∴AP·BP＝·＝AD2－AD·AB－AB2＝2，故有2＝25－AD·AB－×64，解得AD·AB＝22.答案227.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解析∵AB2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；∵BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴|BC|＝|b|＝2，故②错误；∵b＝AC－AB，∴a·b＝AB·(AC－AB)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；∵BC＝b，故④正确；1∵(AB＋AC)·(AC－AB)＝AC2－AB2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故⑤正确.答案①④⑤8.(2016·淮安月考)如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.解析法一如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点坐标为(2，1)，所以CM·CB＝(2，1)·(0，3)＝3.法二CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB·＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.答案3二、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.解(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，|a＋b|＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以|a＋b|＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.10.设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.解(1)由|a|2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.211.(2016·南师附中调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsinA＝.法二由正弦定理，得＝，从而sinB＝，又由a＞b，知A＞B，所以cosB＝，故sinC＝sin(A＋B)＝sin＝sinBcos＋cosBsin＝.所以△ABC的面积为S＝absinC＝.3
