专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习理一、填空题1.(2015·苏州调研)已知f(x)＝则不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是________.解析依题意得，函数f(x)是R上的增函数，且f(3)＝12，因此不等式f(x2－x＋1)＜12等价于x2－x＋1＜3，即x2－x－2＜0，由此解得－1＜x＜2.因此，不等式f(x2－x＋1)＜12的解集是(－1，2).答案(－1，2)2.若点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，则mn的最大值是________.解析因为点A(m，n)在第一象限，且在直线＋＝1上，所以m，n＞0，且＋＝1，所以·≤，所以·≤＝，即mn≤3，所以mn的最大值为3.答案33.(2016·苏北四市模拟)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是________.解析f(－a)＋f(a)≤2f(1)⇔或即或解得0≤a≤1，或－1≤a＜0.故－1≤a≤1.答案[－1，1]4.已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________.解析当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0，∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).答案(－∞，0]∪[3，＋∞)5.(2016·南京、盐城模拟)若x，y满足不等式组则的最小值是________.解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，表示原点(0，0)到此区域内的点P(x，y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x＋2y－2＝0的距离.故最小值为＝.答案6.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为________.解析由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，因为x＜0，所以m＞＝2x＋.而2x＋＝－≤－2＝－2.当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，所以m＞－2.答案(－2，＋∞)7.设目标函数z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为________.解析作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x＋y＝0，显然当直线过点A(k，k)时，目标函数z＝x＋y取得最大值，且最大值为k＋k＝12，则k＝6，直线过点B时目标函数z＝x＋y取得最小值，点B为直线x＋2y＝0与y＝6的交点，即B(－12，6)，所以zmin＝－12＋6＝－6.答案－68.(2016·泰州调研)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________.解析记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m＜tmin.因为＋＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋.而x＞0，y＞0，所以＋≥2＝4(当且仅当＝，即x＝2y时取等号).所以t＝4＋＋≥4＋4＝8，即tmin＝8.故m2＋2m＜8，即(m－2)(m＋4)＜0.解得－4＜m＜2.答案(－4，2)二、解答题9.(2015·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？解(1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，所以θ＝(0＜x＜10).(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0＜x＜10).装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝＝－，令t＝17＋x，则y＝－≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.答：当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.11.(1)解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1＞0；(2)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.解(1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1).当m2－m－1＞0，即m＞或m＜时，由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的两根是m±，所以原不等式的解集是{x|x＜m－，或x＞m＋}；当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x...
