第三章导数及其应用第2讲导数的应用第3课时导数与函数的综合问题练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是()A.3B.2C.1D.0解析设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6＜0，极小值为f(3)＝－10＜0，所以方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数为1.答案C2.若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 2x(x－a)＜1，∴a＞x－.令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－xln2＞0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，∴实数a的取值范围为(－1，＋∞).答案D3.(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则()A.3f(1)
f(3)C.3f(1)＝f(3)D.f(1)＝f(3)解析由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3).答案B4.(2017·德阳模拟)方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫作函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝lnx的“新驻点”为a，那么a满足()A.a＝1B.00，∴h(x)在(1，2)上有零点，∴10.即k>x2－2x对任意x∈(0，2)恒成立，从而k≥0，因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立.令f(x)＝＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1).令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1，2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以k1时，令g′(x)＝0解得x＝ea－1－1.当0ea－1－1时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，ea－1－1)上递减，在(ea－1－1，＋∞)上递增，∴g(ea－1－1)1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立.综上，由(1)(2)可知，实数a的取值范围是(－∞，1].10.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝lnx－(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：不等式(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立.(1)解定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.①a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；②a>0时，f(x)在(a，＋∞)上为增函数，在(0，a)上为减函数.(2)证明法一 x∈(1，2)，∴x＋1>0，∴要证原不等式成立，即证lnx>对∀x∈(1，2)恒成立，令g(x)＝lnx－，g′(x)＝≥0，∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴当x∈(1，2)时，g(x)>g(1)＝ln1－＝0，∴lnx>对∀x∈(1，2)恒成立，∴(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1，2)恒成立.法...
