冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题19 数列通项与求和问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题19数列通项与求和问题【自主热身，归纳提炼】1、等比数列{}na的各项均为实数，其前n项和为nS，已知374S，6634S，则8a.【答案】32【解析】由于，故2q，而，故114a，则781aaq32.2、对于数列{an}，定义数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)，且bn＋1－bn＝1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则a1＝________.【答案】8【解析】：因为b3＝a4－a3＝－1－1＝－2，所以b2＝a3－a2＝b3－1＝－3，所以b1＝a2－a1＝b2－1＝－4，三式相加可得a4－a1＝－9，所以a1＝a4＋9＝8.3、设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．【答案】：解后反思本题主要考查等差中项和等比中项的性质及应用，体现了等差数列和等比数列的基本量的计算问题中的方程思想，等比数列的求和要注意公比是否为1.:4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．【答案】：.2当q＝1时，显然不满足题意；当q≠1时，整理得解得q＝2.5、记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．【答案】：31【解析】：设公比为q，且q＞0，又a1＝1，则an＝qn－1.由S4－5S2＝0，得(1＋q2)S2＝5S2，所以q＝2，所以S5＝＝31.解后反思利用S4＝(1＋q2)S2，可加快计算速度，甚至可以心算．6、设数列na的前n项和为nS，若，则数列na的通项公式为na．【答案】：12n17、已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n(n∈N*)，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.【答案】【解析】：因为|an＋1－an|＝2n，所以当n＝1时，|a2－a1|＝2.由a2>a1，a1＝－1得a2＝1.当n＝2时，|a3－a2|＝4，得a3＝－3或a3＝5.因为{a2n－1}单调递减，所以a3＝－3.当n＝3时，|a4－a3|＝8，得a4＝5或a4＝－11.因为{a2n}单调递增，所以a4＝5.同理得a5＝－11，a6＝21.因为{a2n－1}单调递减，a1＝－1<0，所以a2n－1<0.同理a2n>0.所以当n为奇数时(n≥3)，有an－an－1＝－2n－1，an－1－an－2＝2n－2.两式相加得an－an－2＝－2n－2.那么a3－a1＝－2；a5－a3＝－23；…；an－an－2＝－2n－2.以上各式相加得an－a1＝－(2＋23＋25＋…＋2n－2)．所以an＝a1－＝－.同理，当n为偶数时，an＝.所以an＝也可以写成an＝.【问题探究，变式训练】例1、已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．【解析】：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.(3分)由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*.(7分)(2)由题意知cn＝(n＋1)×2n.记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.则Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，(11分)即Tn＝n·2n＋1，n∈N*.(14分)【变式1】、在数列{}na中，已知113a，，*nN，设na为{}na的前n项和．（1）求证：数列{3}nna是等差数列；（2）求na．2证明（1）因为，所以，又因为113a，所以113=1a，所以{3}nna是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，所以，所以，所以，两式相减得．112()3nn，所以3nnnS．【变式2】、已知数列na的前n项和为nS，且（Nn）．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足，求数列nb的通项公式．解（1）由22nnSa，得．两式相减，得，所以12nnaa，由又1122Sa，得1122aa，12a，所以数列{}na为等比数列，且首项为2，公比2q，所以2nna．（2）由（1）知．由(*nN)，得(2n≥)．3故，即．当1n时，．所以【关联1】、数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＝an(r∈R，n∈N*)．(1)求r的值及数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn.①当n∈N*时，λ＜T2n－Tn恒成立，求实数λ的取值范围；②求证：存在关于n的整式...