冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题18 等差数列与等比数列基本量的问题（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题18等差数列与等比数列基本量的问题【自主热身，归纳提炼】1、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＝2，S2＋S4＝1，则a10＝________．【答案】.8【解析】：列方程组求出a1和d，则a10＝a1＋9d.设公差为d，则解得所以a10＝a1＋9d＝8.2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15＝30，a7＝1，则S9的值为________．【答案】：－9解法1利用等差数列基本量；解法2利用等差数列的性质：①等差数列项数与项数的关系：在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②等差数列任两项的关系：在等差数列{an}中，若m，n∈N*且其公差为d，则am＝an＋(m－n)d.3、在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．【答案】：【解析】：由a8＝a6＋6a4得a2q6＝a2q4＋6a2q2，则有q4－q2－6＝0，所以q2＝3(舍负)，又q>0，所以q＝，则a3＝a2q＝.等差、等比数列基本量的计算是高考常考题型，熟练掌握等差、等比数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键，值得注意的是等比数列的通项公式的推广“an＝amqn－m(n>m)”的应用．4、已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝－，a4－a2＝－，则a3的值为________．【答案】：.【解析】：两个已知等式均可由a3和公比q表示．由已知，得解得5、记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________．【答案】：6【解析】：由S2m－1＝·(2m－1)＝[a1＋(m－1)d](2m－1)＝(2m－1)am得，110＝10(2m－1)，解得m＝6.6、已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a，则S3＝________．【答案】：.【解析】：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，且a1>0，由4a4，a3，6a5成等差数列，得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q2，解得q＝.又由a3＝3a，解得a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋＝.7、知是等比数列，是其前项和．若，，则的值为▲．【答案】2或6【解析】由，当左边=右边=显然不成立，所以，则有，因为，所以,即，所以或，所以.【易错警示】若用到等比数列的前项公式，要讨论公比是否为1；方程两边，若公因数不为0，可以同时约去，若不确定是否为0，要移项因式分解，转化成乘积为0的形式再求解，否则会漏解.8、《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．【答案】：.【解析】：设该等差数列为{an}，则有S4＝3，a9＋a8＋a7＝4，即a8＝，则有即解得a1＝.9、等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．10、若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为．【答案】：．8【解析】：因为a3－a1＝2，所以，即所以，设，即，所以当且仅当，即时取到等号.【问题探究，变式训练】例1、已知公差为d的等差数列的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．【答案】：.【解析】：设等差数列{an}的首项为a1，则由＝3得＝3，所以d＝4a1，所以＝＝＝.【变式1】、设是等差数列的前n项和，若，则=．【解析】由，得，由S3，S6S3，S9S6成等差数列，故S6S3=2S3，S9S6=3S3=S6，解得=．【变式2】、设是等比数列的前n项和，若，则=．【解析】由，得，由S5，S10S5，S15S10，S20S15成等差数列，故S10S5=2S5，S15S10=4S5，S20S15=8S5，所以，，，故．【变式3】、设是等比数列的前n项和，若，则=．【解析】由，得，则．【关联1】、设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－2，则＝________.【解析】：4求出a1及an＋1与an间的递推关系．由Sn＝2an－2和Sn＋1＝2an＋1－2，两式相减得an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an.又a1＝S1＝2，所以数列{an}是首项为2、公比q＝2的等比数列，所以＝q2＝4.【关联2】、Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________.【答案】：解法1由＝可得，＝＝，当n＝1时，＝，所以a2＝2a1.d＝a2－a1＝a1，所以＝＝＝.解法2＝＝，观察发现可令Sn＝n2＋n，则an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，所以＝＝.【关联3】、已知...