冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题11 基本不等式及其应用（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题11基本不等式及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知a>0,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．【答案】：2【解析】利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时，取等号．2、已知正数满足，则的最小值为．【答案】9【解析】：=9．3、已知正实数x，y满足，则xy的最小值为．【答案】：4、已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．【答案】25【解析】：由于直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，所以a(b－3)＝2b，即＋＝1(a，b均为正数)，所以2a＋3b＝(2a＋3b)＝13＋6≥13＋6×2＝25(当且仅当＝即a＝b＝5时取等号)．5、已知正实数满足，则的最小值为．【答案】8【解析】：因为，所以．又因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．易错警示在应用基本不等式时，要注意它使用的三个条件“一正二定三相等”．另外，在应用基本不等式时，要注意整体思想的应用．6、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是________．【答案】思路分析1注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．注意中消去y较易，所以消去y.解法1由x2＋2xy－1＝0得y＝，从而x2＋y2＝x2＋2＝＋－≥2－＝，当且仅当x＝±时等号成立．思路分析2由所求的结论x2＋y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来．解法2由x2＋2xy－1＝0得1－x2＝2xy≤mx2＋ny2，其中mn＝1(m，n>0)，所以(m＋1)x2＋ny2≥1，令m＋1＝n，与mn＝1联立解得m＝，n＝，从而x2＋y2≥＝.7、若正实数满足，则的最小值是▲．【答案】、8【解析】：因为正实数满足，所以，当且仅当，即，又，即，等号成立，即取得最小值.8、若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．【答案】：8解法1因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.解法2因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.解后反思从消元的角度看，可以利用等式xy＋3x＝3消“实数x”或消“实数y”，无论用哪种消元方式消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．9、已知正数a，b满足＋＝－5，则ab的最小值为________．【答案】.36【解析】：因为正数a，b满足＋＝－5，所以－5≥2，当且仅当9a＝b时等号成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)min＝36.10、已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝，则tanα的最大值是________．【答案】11、已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．【答案】25【解析】：因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋＋9(x－1)≥13＋2＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为25.12、已知a＋b＝2，b＞0，当＋取最小值时，实数a的值是________．【答案】：－2解法1＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝，当且仅当a＜0，且＝，即a＝－2，b＝4时取等号．解法2因为a＋b＝2，b＞0，所以＋＝＋(a＜2)．设f(a)＝＋(a＜2)，则f(a)＝当a＜0时，f(a)＝－－，从而f′(a)＝－＝，故当a＜－2时，f′(a)＜0；当－2＜a＜0时，f′(a)＞0，故f(a)在(－∞，－2)上是减函数，在(－2，0)上是增函数，故当a＝－2时，f(a)取得极小值；同理，当0≤a＜2时，函数f(a)在a＝处取得极小值.综上，当a＝－2时，f(a)min＝.【问题探究，变式训练】:例1、已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．【答案】：解法1令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号．解法2(幂平均不等式)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋≥＝.解法3(常数代换)设a＝x＋2，b＝y＋1，则＋＝＋＝＋＝＋＋≥，当且仅当a＝2b时取等号．【变式1】、已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，...