冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题10 平面向量的数量积及其应用（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题10平面向量的数量积及其应用【自主热身，归纳总结】1、已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．【答案】【解析】：设向量a，b的夹角为θ，由|a－b|＝得，21＝2＝a2＋b2－2a·b＝25＋1－2×5×cosθ，即cosθ＝，所以向量a，b的夹角为.2、已知|a|＝1，|b|＝2，a＋b＝(1，)，则向量a，b的夹角为________．【答案】.π3、已知平面向量a＝(2，1)，a·b＝10，若|a＋b|＝5，则|b|的值是________．【答案】5【解析】：因为50＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋20＋|b|2，所以|b|＝5.4、已知平面向量a＝(4x,2x)，b＝（1，），x∈R，若a⊥b，则|a－b|＝________.【答案】.2【解析】：因为a⊥b，所以4x＋2x×＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝－2(舍)或2x＝1，故a＝(1,1)，b＝(1，－1)，故a－b＝(0,2)，故|a－b|＝2.5、如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB·AD＝－7，则BC·DC的值是________．【答案】9【解析】：BC·DC＝(OC－OB)·(OC－OD)＝(OC＋OD)·(OC－OD)＝OC2－OD2，类似AB·AD＝AO2－OD2＝－7，所以BC·DC＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9.思想根源极化恒等式：a·b＝2－2.在△ABC中，若M是BC的中点，则AB·AC＝AM2－MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积．6、已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，则a与2a－b夹角的余弦值为________．【答案】：解法1因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，a·b＝－a2＝－b2，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝a2，|2a－b|＝＝＝|a|，cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝.解法2因为非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2a2－|a|·|b|cos＝a2，|2a－b|＝＝＝＝|a|.以下同解法1.解后反思解法2充分挖掘题目条件“非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|”，可构造一个内角为的菱形向量a，b为此菱形的一组邻边，且其夹角为.类似地，若将条件变为“|a|＝|b|＝|a－b|”，同样可构造一个内角为的菱形，向量a，b为此菱形的一组邻边，但其夹角应为.7、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为________．【答案】：1或－解法1由题意可得AP－AB＝BP＝λAC.又CP＝AP－AC＝AB＋(λ－1)AC，所以BP·CP＝λAB·AC＋λ(λ－1)|AC|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.解法2建立如图所示的平面直角坐标系，所以A(0,0)，B，C(2,0)，设P(x，y)．所以AP＝(x，y)，AB＝，AC＝(2,0)．又因为AP＝AB＋λAC，所以有所以BP＝(2λ，0)，CP＝.由BP·CP＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.解后反思用基向量表示其他向量的能力是平面向量考查的重点，如何基底化需要积累经验，如果不能基底化，也可以恰当建系，正确给出每个点的坐标，用坐标运算8、如图，在△ABC中，已知边BC的四等分点依次为D，E，F.若AB·AC＝2，AD·AF＝5，则AE的长为________．【答案】解决平面向量问题有三种常见方法：基底法、坐标法和几何法，由于本题求线段AE长，且点B，C，D，E，F共线，故可以用向量AE，ED作为基底．解法3(基底法)因为E在中线AD上，所以可设AE＝λ(AB＋AC)，则EB＝(1－λ)AB－λAC，同理EC＝(1－λ)AC－λAB，所以EB·EC＝－3[(1－λ)2＋λ2]－13λ(1－λ)＝－3－7λ(1－λ)．由AD·EC＝0，得(AB＋AC)·[(1－λ)AC－λAB]＝0，可解得λ＝.从而EB·EC＝－3－＝－.对于平面向量数量积的计算主要有两种思路：(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，通过坐标运算求解；(2)基底法：根据题目条件，选择合适的目标向量，再将求解的向量向目标向量转化并求解．本题用坐标法求解，较为简单，请考生尝试用基底法求解.【关联2】、如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为▲．【答案】解法1（坐标法）以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，，则直线，由于点在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，，设点关于直线的对称点，则，可得，即所以令，则且故，所以的取值范围为．QPOBA解法2（极化恒等式）设的中点为，...