冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题08 三角形中的三角问题的探究（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题08三角形中的三角问题的探究【自主热身，归纳总结】1、在△ABC中，若9cos2A－4cos2B＝5，则的值为________．【答案】：【解析】：由题意得，9(1－2sin2A)－4(1－2sin2B)＝5，即9sin2A＝4sin2B，所以＝＝.2、在△中，已知边上的中线，则的值为.【答案】：【解析】设为的中点，连接，则，且,设，在△中,由余弦定理可得，即,解得（舍去），即，所以在△中,由余弦定理可得，即，又因为，所以由正弦定理，可得3、如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.【答案】：30【解析】：在△BCD中，由正弦定理得BC＝·10＝10(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝30(m)．4、在△中，边的垂直平分线交边于，若，，,则△的面积为.【答案】：【解析】在△中，由余弦定理可得，即，解得或5，所以或12，所以△的面积为或.5、在锐角△中，角的对边分别为，，，且,为的中点，则的长为.【答案】：（方法2）由正弦定理可得，又由，可得，又由锐角△，可得,在△中,由余弦定理可得,即，，所以在△中,由余弦定理可得,即.6、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若＋＝6cosC，则＋的值是________．【答案】：.4【解析】：由＋＝6cosC及余弦定理，得＋＝6×，化简得a2＋b2＝c2.又＋＝6cosC及正弦定理，得＋＝6cosC，故sinAsinBcosC＝(sin2B＋sin2A)．又＋＝＝，所以＋＝＝＝4.7、在△中,角所对的边分别为，且满足,则的最大值为．【答案】：.【解析】由，得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，化简得，又因为，当且仅当时等号成立，可得，所以的最大值为.8、已知在△中，，，为的中点，当最小时，△的面积为.（2）设的角所对的边分别为，若，，求面积的最大值.解：（1）由题意，得，当取最大值时，即，此时，所以的取值集合为.【关联2】、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，．（1）求的值；（2）求函数的值域．【解析】：（1）因为，所以．由余弦定理得．因为，所以．（2）因为，所以，所以．因为，所以．因为又因为，所以，所以的值域为．易错警示第（2）问中易忽略的范围而出错．【关联3】、在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝(sinB－sinC，sinC－sinA)，b＝(sinB＋sinC，sinA)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b＝c·cosA，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【解析】：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，即sin2B－sin2C＋sinA(sinC－sinA)＝0，即sinAsinC＝sin2A＋sin2C－sin2B，由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，所以cosB＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)因为c·cosA＝b，所以＝，即b2＝c2－a2，又ac＝a2＋c2－b2，b＝2RsinB＝，解得a＝1，c＝2.(12分)所以S△ABC＝acsinB＝.例2、在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．【变式1】、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若BA·BC＝，b＝，求a＋c的值；(2)求2sinA－sinC的取值范围．【解析】：(1)因为A，B，C成等差数列，所以B＝.因为BA·BC＝，所以accosB＝，所以ac＝，即ac＝3.因为b＝，b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2－ac＝3，即(a＋c)2－3ac＝3，所以(a＋c)2＝12，所以a＋c＝2.(2)2sinA－sinC＝2sin－sinC＝2－sinC＝cosC.因为0＜C＜，所以cosC∈.所以2sinA－sinC的取值范围是.【变式2】、在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．【解析】（1）在△ABC中，，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以．（2）因为，所以，故，因此，所以．方法总结：原条件利用“化边为角”或“化角为边”两种思路均可求解，若对等式两边同时加1，再进行转化，更为便捷；第二问中可利用均值代换，不妨设，，求解，可简化求解过程．【关联1】、已知三个内角，，的对应边分别为，，，且，．当取得最大值时，的值为．【答案】【解析】：设（），则，因为，，所以由正弦定...