冲刺高考数学二轮复习 核心考点特色突破 专题09 平面向量的线性表示（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题09平面向量的线性表示【自主热身，归纳总结】1、设a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p=.【答案】-1【解析】因为=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因为A,B,D三点共线,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以实数p的值是-1.2、设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则．【答案】：【解析】，设．则且，解得．3、在中，若点，，依次是边上的四等分点，设，，用，表示，则．【解析】在中，，，所以．4．设点，，是直线上不同的三点，点是直线外一点，若，则的值为．【答案】：1【解析】因为点，，三点共线，所以，又因为，所以．5、如图，在中，，分别为边，的中点.为边上的点，且，若，，则的值为.【答案】：【解析】：因为为的中点，所以，故，。6、已知为的外心，若，则=．【答案】：误点警示：若为锐角，则与分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时=2；若为钝角，由与的关系是，因此，必须对进行分类讨论.本题从条件判断知，必为钝角.7、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数的值为．【答案】：【解析】因为，所以．8．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_______，___________．【答案】：，．【解析】设与，同方向的单位向量分别为，，依题意有，又，，则，所以，．9、如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为．【答案】：．【解析】因为点F，K，E共线，故可设又，所以，解得．【问题探究，变式训练】例1、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为________.课本探源本题的难点是＝关系的建立，借助于正弦定理，可以证明＝.实际上，必修5P54例5已经证明了此结论，若能够想到这一点，理顺本题的解题思路就容易多了：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，用正弦定理证明：＝.【变式1】、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】【解析】：因为O，E分别是AC，AO的中点，所以BE＝BA＋AE＝BA＋AC＝BA＋(BC－BA)＝BA＋BC.又BE＝λBA＋μBD＝λBA＋μ(BC＋CD)＝(λ＋μ)BA＋μBC，故λ＋μ＝..【变式2】、在中，，若，则的值为．【答案】：因为，而,所以，所以，则的值为.【关联1】、如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为．【答案】【解析】思路一：，，因为∥，所以λ－1＝，λ＝．思路二：不妨设，则有【关联2】、如图,在同一个平面内，向量、，的模分别为1,1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若,则ACBO的值为____________．【答案】：．【解析】由可得，，根据向量分解易得：，即，解得所以．例2、在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．【答案】[－，1)思路分析本题中三点在圆O上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m，n的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m，n的关系式，再利用线性规划求解．因为C＝，O是△ABC外心，所以∠AOB＝90°，OC＝mOA＋nOB，所以C在优弧上．建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A(0,1)，B(1,0)．设C(cosθ，sinθ)，代入OC＝mOA＋nOB，可得n＝cosθ，m＝sinθ，即m＋n＝cosθ＋sinθ＝sin.又θ＋∈，所以m＋n∈[－，1)．解后反思本题易错在没有注意点C在优弧上，错误的认为点C在整个圆上．本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单．【变式1】、如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．【答案】：.解法1建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－，故BC：y＝－(x－4)．又AP＝mAB＋nAD，AB＝(4,0)，AD＝(0,4)，所以AP＝(4m,4n)，故P(4m,4n)，又点P在直线BC上，即3n＋4m...