东海高级中学高三奥赛班数学提升训练题（一）每日一题一1、已知函数（I）求在区间上的最大值（II）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解：（I）当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，（II）函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；用心爱心专心115号编辑当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为每日一题二已知函数（1）求；并判断函数的图象是否为一中心对称图形；（2）记，求；（3）若函数的图象与直线以及轴所围成的封闭图形的面积为，试探究与的大小关系。解：（1）（2）①②由（1）知，，……用心爱心专心115号编辑①+②得：，（3）为增函数，时，由（1）知函数的图象关于点对称，记点，所求封闭图形的面积等于的面积，即，每日一题三一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米.(1)若手推车卡在直角走廊内，且∠，试求手推车的平板面的长CD的表达式；(2)若手推车要想顺利通过直角走廊，CD的长度不能超过多少米?解：一条直角走廊宽1.5米，如图所示，现有一转动灵活的手推车，其平板面的矩形宽为1米.(1)若手推车卡在直角走廊内，且∠，试求手推车的平板面的长CD的表达式；(2)若手推车要想顺利通过直角走廊，CD的长度不能超过多少米?解：如图，延长AB交直角走廊于A1、B1，设∠CDE＝，则∠B1A1E＝，∈(0，)， CD＝AB＝A1B1－AA1－BB1，而A1B1＝1.5(＋)，AA1＝，BB1＝tan，∴CD＝1.5(＋)――tan＝6分令sin＋cos＝t，则t∈(1，]。令f(t)＝＝…10分则当t＝时，两项均取得最小值，即＝时，f(t)min＝3－2即CDmin＝3－2，故平板车的长度不能超过3－2米……12分已知函数f(x)定义在区间（－1，1）上，f()＝－1，且当x，y∈(－1，1)时，恒有f(x)－f(y)＝f()，又数列{an}满足a1＝，an+1＝，设bn＝．(1)证明：f(x)在（－1，1）上为奇函数；(2)求f(an)的表达式；(3)是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有bn<成立，若存在，求出m的最小值；若不用心爱心专心115号编辑11A1B1EADBCE1存在，请说明理由．解（1）令x＝y＝0，则f(0)＝0，再令x＝0，得f(0)－f(y)＝f(－y)，∴f(－y)＝－f(y)，y∈(－1，1)，∴f(x)在（－1，1）上为奇函数．4分（2），即∴{f(an)}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f(an)＝－2n－1．10分（3）．若恒成立（n∈N＋），则 n∈N＋，∴当n＝1时，有最大值4，故m>4．又 m∈N，∴存在m＝5，使得对任意n∈N＋，有．每日一题五已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解：⑴又 为锐角∴∴4分⑵ ∴都大于0∴∴8分⑶∴∴用心爱心专心115号编辑 ,,又 ∴∴∴14分每日一题六我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.第1列第2列第3列…第列第1行111…1第2行第3行……第行(1)设第2行的数依次为，试用表示的值；(2)设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；(3)能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由.解：(1)，所以.…4分(2)，，，由，得.……9分(3)设和分别为第列和第列的前三项，，则，.若第列的前三项是等比数列，则由，得，，.同理，若第列的前三项是等比数列，则.用心爱心专心115号编辑当时，.所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数(除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列.14分每日一题七已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点．若，求函数的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为，，，由，得∴，故方程的两根是，．故，．，即∴．（2）①依题意是方程的根，故有，...
