【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第9章第6节抛物线北师大版一、选择题1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]D[解析]把直线x＝－1向左平移一个单位，两个距离就相等了，符合抛物线的定义．2．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的焦点，则a＝()A．1B．4C．8D．16[答案]C[解析]根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的焦点为(0,2)，依题意则有＝2，解得a＝8.3．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线－＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是()A．x2＝4yB．x2＝－4yC．y2＝－12xD．x2＝±12y[答案]D[解析]由题意得c＝＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.4．(文)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48[答案]C[解析]本题考查抛物线的相关概念、焦点弦、通径等．设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.(理)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A．若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x[答案]B[解析]本小题考查抛物线的有关概念以及直线与抛物线关系．由已知得抛物线焦点为F，∴AF所在直线方程为y＝2.∴A，∴S△OAF＝×·＝＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.5．(2014·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－1[答案]C[解析]考查了直线与抛物线的有关知识．把A(－2,3)代入y2＝2px的准线方程，得p＝4.∴F为(2,0)∴kAF＝＝－.正确求出焦点F是关键．6．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于()A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p2[答案]A[解析] OA⊥OB，∴OA·OB＝0.①∴x1x2＋y1y2＝0. A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.二、填空题7．(文)(2013·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．[答案]2x＝－1[解析]本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由＝1知p＝2，则准线方程为x＝－＝－1.(理)设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P(k，－2)到点F的距离为4，则k的值为________．[答案]4或－4[解析]由题意可设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，p＝4，k2＝－2×4(－2)，∴k＝4或－4.8．下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.[答案]2[解析]本题考查了抛物线的标准方程与数学建模能力．如图建立直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py，代入P(2，－2)得2p＝2，∴x2＝－2y，当y＝－3时，x2＝6，∴x＝±，则此时水面宽为2m.9．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________[答案]y2＝4x[解析]设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由方程组得交点A(0,0)，B(a，a)，而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.三、解答题10．(2014·江西高考)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于2A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．[解析](1) 直线AB过定点M(0,2)由分析知直线AB斜率一定存在．∴可设直线AB的方程为y＝kx＋2，由，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－8.又直线AO的方程为y＝x，BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为⇒又 x1x2＝－8，x＝4y1.∴y＝＝＝＝－2.∴点D在定直线y＝－2(x≠0)上(2)由题意分析可知，切线l的斜率存在且不为0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)代...
