【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第8章 第8节 立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直(理)（含解析）北师大版VIP专享VIP免费

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第8节立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直(理)北师大版一、选择题1．平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A．(，－1，－1)B．(6，－2，－2)C．(4,2,2)D．(－1,1,4)[答案]D[解析]AB＝(2,1,1)，AC＝(3，－1，－1)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．得取y＝1，则n＝(0,1，－1)．D选项中(－1,1,4)·(0,1，－1)＝1－4＝－3≠0.故选D．2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为()A．，－，4B．，－，4C．，－2,4D．4，，－15[答案]B[解析] AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，BC＝(3,1,4)，则解得3．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3，－3,4)[答案]A[解析] n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，∴n⊥MP，在选项A中，MP＝(1,4,1)，∴n·MP＝0.4．(2015·泰安质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n＝(1,1,1)，则以n为方向向量直线l与平面ABC的关系是()A．垂直B．不垂直C．平行D．以上都有可能[答案]A[解析]易知AB＝(－1,1,0)，AC(－1,0,1)，AB·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，AC·n＝－1×1＋1×0＋1×1＝0，则AB⊥n，AC⊥n，即AB⊥l，AC⊥l，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，∴l⊥平面ABC．5．若平面α、β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确[答案]C1[解析] n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∴cos＝＝＝≠0且≠±1.∴α，β相交但不垂直．6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对[答案]C[解析]分别以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0,0)，M(，2,0)，P(0,1，)，则AM＝(－，2,0)，PM＝(，1，－)，所以AM·PM＝0，所以AM⊥PM，故选C．二、填空题7．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝(1，，2)，且l⊥α，则m＝________.[答案]4[解析]平面α的法向量即为平面的法线的方向向量，又l⊥α，∴e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ(1，，2)，∴∴m＝4.8．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.[答案]－4[解析]由α⊥β可知a·b＝0，即x＋1×(－2)＋2×3＝0，解得x＝－4.9．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．[答案](，－，)或(－，，－)[解析]设平面ABC的法向量n＝(x，y,1)则n⊥AB且n⊥AC，即n·AB＝0，且n·AC＝0，从而，即∴n＝(，－1,1)，单位法向量为±＝±(，－，)．三、解答题10．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．2求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.[证明](1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE.则点N、E的坐标分别为(，，0)、(0,0,1)．∴NE＝(－，－，1)．又点A、M的坐标分别是(，，0)、(，，1)，∴AM＝(－，－，1)．∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又 NE平面BDE，AM⃘平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－，－，1)， D(，0,0)，F(，，1)，∴DF＝(0，，1)．∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.一、选择题1．已知a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)，c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c与a及b都垂直，则m，n的值分别为()A．－1,2B．1，－2C．1,2D．－1，－2[答案]A[解析]c＝(m，m，m)＋(0,2n，－n)＋(4，－4,1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)． c与a及b都垂直，∴即即解得2．如下图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1.M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()3A．(1,1,1)B．C．D．[答案]C[解析]设BD∩AC＝O，连接EO，由题意可知EO∥AM.∴M为EF的中点．∴M，故选C．二、填空题3．如图所...