【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第9节立体几何中的向量方法(二)求空间角与距离(理)北师大版一、选择题1．在如图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为()A．－B．－C．D．[答案]D[解析]因为A1B1C1D1－ABCD为正方体，所以以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设棱长为1，则DE＝(0，，1)，AC＝(－1,1,0)，故cos
＝＝＝，故选D．2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量AB，AD，AA1两两的夹角均为60°，且|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，则|AC1|＝()A．5B．6C．4D．8[答案]A[解析]由题知AC1＝AB＋BC＋CC1，则|AC1|2＝|AB＋BC＋CC1|2＝12＋22＋32＋2AB·BC＋2AB·CC1＋2BC·CC1＝14＋2×1×2×＋2×1×3×＋2×2×3×＝25，所以|AC1|＝5.3．正方体ABCD－A1B1C1D1中BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A．B．C．D．[答案]D[解析]该题考查正方体的性质，直线与平面所成的角，考查坐标法．建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，设棱长为1，BB1＝(0,0,1)，平面ACD1的一个法向量n＝(1,1,1)，∴cos〈BB1，n〉＝＝，∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]D[解析]以D点为原点，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则相关点的坐标为C(0,1,0)，E(，，1)，B(1,1,0)，D(0,0,0)，∴CE＝(，－，1)，BD＝(－1，－1,0)．∴CE·BD＝－＋＋0＝0.1∴CE⊥BD，即CE⊥BD．5．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1[答案]B[解析]OP＝(－1,3,2)，|OP|＝＝，|cos|＝||＝||＝.d＝×＝2.6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()A．B．C．D．[答案]B[解析]解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F. A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC， AB＝AC．∴AE⊥BC．∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC．∴AF的长即为所求点面距离．AA1＝1，AE＝，∴AF＝.解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝××1＝.又 A1B＝A1C＝，在△A1BE中，A1E＝＝2.∴S△A1BC＝×2×2＝2.∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为.解法3：设BC中点为O， △ABC为正三角形，∴AO⊥BC，以O为原点，直线AO，BC分别为x轴、y轴建立如图所示空间直角坐标系，则B(0，－1,0)，C(0,1,0)，A(－，0,0)，A1(－，0,1)．设n＝(x，y,1)为平面A1BC的一个法向量，则，∴，∴，∴n＝，又AA1＝(0,0,1)，2∴A到平面A1BC的距离d＝＝.二、填空题7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．[答案][解析]如图建立直角坐标系D－xyz，设DA＝1，由已知条件A(1,0,0)，E(0，，1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，AE＝(－1，，1)，BC＝(－1,0,0)设异面直线AE与BC所成角为θ.cosθ＝|cos|＝＝.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．[答案][解析]如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴D1C1＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由，得，令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos|＝＝＝.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.9．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则点C到平面PAB的距离d＝________.[答案][解析]以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，∴AP＝(－1,0,1)，AB＝(0,1,0)，AC＝(－1,1,0)，CP＝(0，－1,1)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，∴，即令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)．∴d＝＝＝.三、解答题10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF.(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．[解析](1)如图，以A...
