【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第6节抛物线新人教B版一、选择题1．(2015·石家庄五校联考)若抛物线y＝ax2的准线的方程是y＝2，则实数a的值是()A.B．－C．8D．－8[答案]B[解析]由条件知，－＝2，∴a＝－.2．(2014·合肥质检)已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线[答案]A[解析]P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．3．(文)直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为()A．48B．56C．64D．72[答案]A[解析]由题意不妨设A在第一象限，联立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而抛物线的准线方程是x＝－1，所以|AP|＝10，|QB|＝2，|PQ|＝8，故S梯形APQB＝(|AP|＋|QB|)·|PQ|＝48，故选A.(理)(2013·郑州质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为()A．4B．8C．12D．16[答案]D[解析]抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.4．(2014·湖北武汉调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4[答案]C[解析]设P点坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.5．(文)(2014·辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是()A．2B．C.D．1[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1＝4，∴x1＋x2＝3，∴＝，即AB中点C的横坐标是.(理)(2014·武昌模拟)直线y＝k(x－2)交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为()A．6B．10C．2D．16[答案]B[解析]将y＝k(x－2)代入y2＝8x中消去y得，k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝6，∴k＝±2，∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝10.6．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.D．[答案]A[解析]直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A.[点评]与抛物线有关的最值问题常见题型．(1)点在抛物线外，利用两点间线段最短求最小值．①(2013·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案]－1[解析]如图，抛物线y＝x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝－1.(2)定点在抛物线内，利用点到直线的垂线段最短求最小值．②(2013·河南洛阳、安阳统考)点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．[答案](－1，)[解析]由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点(－1，)即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．③已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又定点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．[分析]抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题，运用三点共线可使问题得到解决．[解析]将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，2得y＝±， >2，∴点A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义，知|PA|＋|PF|...
