【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第5章第4节向量的应用及向量与其他知识的综合问题新人教B版一、选择题1．(文)在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则三角形ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[解析]由条件知|AC|2＝(BC＋BA)·(BC－BA)＝|BC|2－|BA|2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形．(理)(2013·邯郸模拟)设P是曲线y＝上一点，点P关于直线y＝x的对称点为Q，点O为坐标原点，则OP·OQ＝()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]设P(x0，)，则Q(，x0)，∴OP·OQ＝x0·＋·x0＝2.2．(文)(2014·咸阳诊断)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且BF＝2FA，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FD·FE的值是()A．－B．－C．－D．不确定[答案]B[解析]依题意得FD·FE＝(FA＋AD)·(FA＋AE)＝(FA＋AD)·(FA－AD)＝FA2－AD2＝(BA)2－AD2＝－1＝－，故选B.(理)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN·AM的最大值为()A．8B．6C．5D．4[答案]B[解析]建立直角坐标系如图， 正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)，AN＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，AM＝(x，y)由坐标系可知 AN·AM＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴AN·AM的最大值为6，故选B.3．(文)(2014·东营模拟)设a，b是不共线的两个向量，其夹角是θ，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)(x∈R)在(0，＋∞)上有最大值，则()1A．|a|<|b|，且θ是钝角B．|a|<|b|，且θ是锐角C．|a|>|b|，且θ是钝角D．|a|>|b|，且θ是锐角[答案]D[解析] f(x)＝(－a·b)x2＋(|a|2－|b|2)x＋a·b在(0，＋∞)上有最大值，∴∴∴|a|>|b|且θ为锐角．(理)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为()A.B．C.D．[答案]C[解析] m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝＝＝.又 当且仅当t＝时，|m|最小，即＋＝0，∴cosθ＝－，∴θ＝.故选C.4．(2014·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.B．C.D．[答案]C[解析]m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，又因为C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.5．(2014·广州梅州二模)已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则P点坐标为()A．(－3,0)B．(3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案]B[解析]设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时AP·BP有最小值，∴P(3,0)．6．(文)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足xAB＋yAD＋PA＝0(x，y∈R)，则当点P在以A为圆心，|BD|为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为()A．4x2＋y2＋2xy＝1B．4x2＋y2－2xy＝1C．x2＋4y2－2xy＝1D．x2＋4y2＋2xy＝1[答案]D[解析] xAB＋yAD＋PA＝0，∴AP＝xAB＋yAD， AD＝2AB，∠BAD＝60°，∴BD＝AB，∴|AP|＝|BD|＝|AB|，∴|AP|2＝(xAB＋yAD)2＝x2|AB|2＋y2|AD|2＋2xy·AB·AD＝x2|AB|2＋4y2|AB|2＋2xy·|AB|·|AD|·cos60°＝(x2＋4y2＋2xy)|AB|2，∴x2＋4y2＋2xy＝1，故选D.(理)(2014·山西大学附中二模)过抛物线x2＝2py的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB为()2A.锐角三角形B．直角三角形C.钝角三角形D．不确定[答案]C[解析]设直线l的方程为y＝kx＋，由，得x2－2pkx－p2＝0，∴x1x2＝－p2，y1y2＝＝，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－p2<0，∴∠AOB为钝角，故选C.二、填空题7.(2014·济南模拟)在△ABC中，E为AC上一点，且AC＝4AE，P为BE上一点，且满足AP＝mAB＋nAC(m>0，n>0)，则＋取最小值时，向量a＝(m，n)的模为________．[答案][解析]因为AP＝mAB＋nAC＝mAB＋4nAE，B，P，E三点共线，所以m＋4n＝1，(m＋4n)(＋)＝1＋＋4＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，此时m＝，n＝，所以|a|＝＝.8．(文)(2014·晋江调...
