【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积及其应用（含解析）北师大版VIP免费

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【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第5章第3节平面向量的数量积及其应用北师大版一、选择题1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝，则向量a，b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]C[解析]|a|＝|b|＝1，且(a＋b)·b＝a·b＋b2＝cos＋1＝，∴cos＝，即得＝，故应选C．2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与a垂直，则λ＝()A．－1B．1C．－2D．2[答案]B[解析]由于(λa－b)·a＝λ|a|2－b·a＝10λ－10＝0，解得λ＝1，故选B．3．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于()A．1B．－4C．－D．[答案]C[解析]依题意，e1·e2＝|e1||e2|cos＝，所以a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6|e1|2＋2|e2|2＋e1·e2＝－6＋2＋＝－.4．(2015·长沙模拟)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：(1)若a·b＝a·c，则a＝0或b＝c；(2)若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则k＝；(3)非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°.其中所有真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，可得a＝0或b＝c或a⊥(b－c)，即命题(1)不正确；若a＝(1，k)，b＝(－2,6)且a⊥b，则a·b＝－2＋6k＝0，得k＝，即命题(2)正确；非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则可得出一个等边三角形，且a与a＋b的夹角为30°，即命题(3)正确，综上可得真命题有2个，故应选C．5．(2014·新课标Ⅱ)设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5[答案]A[解析]本题考查平面向量的模，平面向量的数量积． |a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6.联立方程解得a·b＝1，故选A．6．(文)在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形1[答案]C[解析]由(BC＋BA)·AC＝|AC|2得(BC＋BA)·AC－|AC|2＝0，即AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(2BA)＝0，故有AC⊥BA.(理)(2014·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，又因为C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.二、填空题7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案][解析]本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等．a＋c＝(3,3m)， (a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.8．过点A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程为__________．[答案]x－3y＋5＝0[解析]设P(x，y)是所求直线上任一点，AP＝(x＋2，y－1)， AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.9．(文)(2014·江西高考)已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.[答案]3[解析]本题主要考查向量的数量积及向量模的运算． |a|2＝a2＝(3e1－2e2)2＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2，又 |e1|＝|e2|＝1，e1e2的夹角余弦值为∴上式＝9－12×＋4＝9∴|a|＝3，解答本题关键是掌握向量的平方等于相应向量模的平方性质．(理)(2014·江西高考)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.[答案][解析]本题考查平面向量数量积的性质及运算．依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，cosβ＝＝＝.三、解答题210．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的射影．[解析](1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，...

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