【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第5章第4节向量的应用及向量与其他知识的综合问题新人教A版一、选择题1．(文)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则OC·CA＝()A．6B．－6C．8D．－8[答案]D[解析] AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角， O为△ABC外心，∴OC·CA＝－CO·CA＝－(CA＋CB)·CA＝－|CA|2－CB·CA＝－8.(理)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则MA·MD＝()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝，∴MB＝MC＝，∴MC·BA＝|MC|·|BA|·cos45°＝×2×＝1，MB·CD＝|MB|·|CD|·cos135°＝×1×＝－，∴MA·MD＝(MB＋BA)·(MC＋CD)＝MB·MC＋MB·CD＋BA·MC＋BA·CD＝－2＋＋1＋2×1＝2，故选B．2．(2014·东营模拟)设a，b是不共线的两个向量，其夹角是θ，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)(x∈R)在(0，＋∞)上有最大值，则()A．|a|<|b|，且θ是钝角B．|a|<|b|，且θ是锐角C．|a|>|b|，且θ是钝角D．|a|>|b|，且θ是锐角[答案]D[解析] f(x)＝(－a·b)x2＋(|a|2－|b|2)x＋a·b在(0，＋∞)上有最大值，∴∴∴|a|>|b|且θ为锐角．13．(文)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么AB·AC等于()A．B．0C．－3D．－[答案]B[解析]由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，由消去y得，x2－4kx－16＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，∴AB·AC＝x1x2＋y1y2＝0.(理)(2014·山西大学附中二模)过抛物线x2＝2py的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[答案]C[解析]设直线l的方程为y＝kx＋，由，得x2－2pkx－p2＝0，∴x1x2＝－p2，y1y2＝＝，OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－p2＋＝－p2<0，∴∠AOB为钝角，故选C．4．(文)(2014·湖南十二校联考)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A．B．C．D．[答案]C[解析]m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)即sinC＝1－cosC，所以sin(C＋)＝，又因为C为△ABC的内角，所以C＋＝，即C＝.(理)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定[答案]A[解析]解法1：p·q＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则p·q＝0，∴sinA＝cosB， A、B∈，∴A＝B＝，则C＝，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，∴sinA这与条件矛盾，∴p与q的夹角为锐角．解法2：由题意可知A＋B>⇒A>－B⇒sinA>sin(－B)＝cosB⇒p·q＝sinA－cosB>0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角．5．(文)(2014·广州梅州二模)已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP·BP有最小值，则P点坐标为()A．(－3,0)B．(3,0)C．(2,0)D．(4,0)[答案]B[解析]设P(x,0)，则AP＝(x－2，－2)，BP＝(x－4，－1)，AP·BP＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时AP·BP有最小值，2∴P(3,0)．(理)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则OM·ON(O为坐标原点)等于()A．－7B．－14C．7D．14[答案]A[解析]记OM、ON的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，∴OM·ON＝3×3cos2θ＝－7，选A．6．(2013·荆州市质检)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，若点P为△ABC的外心，则AP·BC的值为()A．2B．4C．6D．8[答案]C[解析] cos∠BAP＝＝＝，∴AB·AP＝|AB|·|AP|cos∠BAP＝，同理AC·AP＝， BC＝AC－AB，∴AP·BC＝AP·AC－AP·AB＝－＝－＝6.二、填空题7．(文)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则AE·BD＝________.[答案]－[解析]AE·BD＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2－AD·AB＝1－2－×1×2·cos60°＝－.(理)...
