【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第4章第7节正弦定理、余弦定理的应用举例北师大版一、选择题1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°[答案]B[解析]由图可知∠ACB＝180°－(40°＋60°)＝80°， AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝(180°－80°)＝50°. CE∥BD，∠CBD＝∠BCE＝60°，∴∠ABD＝∠CBD－∠CBA＝60°－50°＝10°，∴灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10nmile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A．5nmileB．5nmileC．10nmileD．10nmile[答案]C[解析]依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(nmile/h)．3．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据无法求出AB长度的是()A．α，a，bB．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ[答案]D[解析]利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB．4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里[答案]A[解析]如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝130°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)5．(文)已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10kmB．kmC．10kmD．10km[答案]D[解析]利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，∴AC＝10(km)．(理)如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别是β、α(α<β)，则点A离地面的高度AB等于()A．B．C．D．[答案]A[解析]在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，＝，得AC＝.在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝.6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m[答案]A[解析]设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.二、填空题7．(文)(2014·新课标Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.[答案]1502[解析]本题考查解三角形中的应用举例．在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，∴∠AMC＝45°.由正弦定理知＝，∴AM＝100.在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m)．(理)(2014·四川高考)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)[答案]60[解析]本题考查了运用正弦定理解三角形．由条件可得：AC＝92，AB＝，＝，∴BC＝≈60.8．我舰在岛A南50°西12nmile的B处，发现敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10nmile的速度航行，若我舰要用2h追上敌舰，则速度为________．[答案]14nmile/h[解析]设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在△ABC中，AC＝20，AB＝12，∠BAC＝120°.∴BC2＝784，∴v＝14nmile/h.9．(文)如...
