【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第3章第3节导数在函数最值及生活实际中的应用北师大版一、选择题1．函数y＝()A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，有最小值－2D．无最值[答案]C[解析] y′＝＝.令y′＝0，得x＝1或－1，f(－1)＝＝－2，f(1)＝2，故选C．2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()[答案]C[解析]由y＝f′(x)的图像易知当x<0或x>2时，f′(x)>0，故函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当04.4．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)[答案]D[解析]由题意得，a>x－()x(x>0)，令f(x)＝x－()x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)min>f(0)＝－1，∴a>－1，故选D．5．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f′(x)是()A．仅有最小值的奇函数B．仅有最大值的偶函数C．既有最大值又有最小值的偶函数D．非奇非偶函数[答案]C[解析]f(x)＝sinxcosx＋sinx，则f′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f′(x)是偶函数，又因为cosx∈[－1,1]，所以函数f′(x)既有最大值又有最小值．6．(文)如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10000m2，鱼塘前面要留4m的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为()A．长102m，宽mB．长150m，宽66mC．长、宽均为100米D．长150m，宽m[答案]D[解析]设鱼塘长、宽分别为ym、xm，依题意xy＝10000.设占地面积为S，则S＝(3x＋8)(y＋6)＝18x＋＋30048，令S′＝18－＝0，得x＝.此时y＝150.(理)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则高为()2A．cmB．cmC．cmD．cm[答案]D[解析]设圆锥的高为xcm，则底面半径为(cm)，其体积为V＝πx(202－x2)(00，当0，所以x＝1.因为01时f′(x)>0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.8．函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根． f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.9．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)[答案]d[解析]下图为圆木的横截面， b2＋h2＝d2，∴bh2＝b(d2－b2)．设f(b)＝b(d2－b2)，∴f′(b)＝－3b2＋d2.令f′(b)＝0，由于b>0，∴b＝d，且在(0，d]上f′(b)>0，在[d，d)上，f′(b)<0.∴函数f(b)在b＝d处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝D．三、解答题10．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．[解析](1)g(x)＝lnx＋，g′(x)＝，由g′(x)>0，得g(x)的单调增区间为(1，＋∞)；由g′(x)<0，得g(x)的单调减区间为(0,1)．因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为...
