【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第2章第3节函数的奇偶性与周期性北师大版一、选择题1．(文)(2014·湖南高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3D．f(x)＝2－x[答案]A[解析] f(x)＝x3为奇函数，f(x)＝2－x为非奇非偶函数，∴排除C、D；又f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，排除B，选A．(理)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝D．y＝x|x|[答案]D[解析]本题考查了函数的性质．因为y＝x|x|＝，是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D．解答本题可用排除法，选项A不具备奇偶性，选项B在(－∞，＋∞)上是减函数，选项C在(－∞，＋∞)上不具备单调性．2．下面四个结论中，正确命题的个数是()①偶函数的图像一定与y轴相交；②函数f(x)为奇函数的充要条件是f(0)＝0；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]①错误，如函数f(x)＝是偶函数，但其图像与y轴没有交点；②错误，因为奇函数的定义域可能不包含x＝0；③正确；④错误，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图像可能是()[答案]B[解析]本小题考查函数的图像，奇偶性与周期性．y＝f(x)为偶函数，周期T＝2.4．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，如果x1<0，x2>0，且|x1|<|x2|，则有()A．f(－x1)＋f(－x2)>0B．f(x1)＋f(x2)<01C．f(－x1)－f(－x2)>0D．f(x1)－f(x2)<0[答案]D[解析] x1<0，x2>0，|x1|<|x2|，∴0<－x1f(2)＝>0，因此g(0)0得，x2＋1>1，当x≤0时，cosx∈[－1,1]，故f(x)∈[－1，＋∞)选D．二、填空题7．(文)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝______.[答案][解析]考查函数的奇偶性． f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，即＋a＝－－a，∴a＝.(理)若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.[答案]±1[解析]解法1若定义域中包含0，则f(0)＝0，解得k＝1；若定义域中不包含0，则k＝－1，验证得此时f(x)也是奇函数．解法2由f(－x)＋f(x)＝0恒成立，解得k＝±1.[点评]解此题时，容易受习惯影响漏掉k＝－1.熟悉的地方也有盲点，知识不全面、平时练习偷懒、保量不保质、解题后不注意反思，是面对“意外”题型无法应对的真正原因．8．(文)(2014·新课标Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.[答案]32[解析]本题考查函数奇偶性、对称性及周期性的综合应用． f(x)＝f(x＋4)，∴周期为4，∴f(－1)＝f(3)＝3，找出周期是关键．(理)(2014·新课标Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．[答案](－1,3)[解析]本题考查抽象函数的奇偶性与单调性，绝对值不等式的解法． 偶函数y＝f(x)在[0，＋∞)上单减，且f(2)＝0∴f(x)>0的解集为|x|<2∴f(x－1)>0的解集为|x－1|<2，解得－1
