【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第11章第4节数学归纳法(理)新人教B版一、选择题1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边的项是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3[答案]C[解析]左边项的指数规律是从第2项起指数为正整数列，故n＝1时，应为1＋a＋a2.2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0最小值为()A．1B．3C．5D．7[答案]C[解析]n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456…2n248163264…n2149162536…由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4时恒有2n>n2.3．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立[答案]D[解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D.4．(2014·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y61按如此规律下去，则a2013＝()A．501B．502C．503D．504[答案]D[解析]a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，由于a1＝1，a3＝－1，a5＝2，a7＝－2，a9＝3，…，所以x1＝1，x3＝2，x5＝3，…，当n为奇数时，xn＝，所以a2013＝x1007＝504.5．(2014·河南洛阳质检)已知f(n)＝＋＋＋…＋，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案]D[解析]f(n)的项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()A．(8n－1)个B．(8n＋1)个C.(8n－1)个D．(8n＋1)个[答案]C[解析]第1个图挖去1个，第2个图挖去1＋8个，第3个图挖去1＋8＋82个……第n个图挖去1＋8＋82＋…＋8n－1＝个．二、填空题7．用数学归纳法证明命题“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．[答案]2k＋18．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.[答案]π[解析]将k＋1边形A1A2…AkAk＋1的顶点A1与Ak连接，则原k＋1边形分为k边形A1A2…Ak与三角形A1AkAk＋1，显见有f(k＋1)＝f(k)＋π.9．(2014·江西上饶二模)如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝________.2[答案][解析]由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3(n－1)，n≥2，所以＝＝＝－，＋＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.三、解答题10．设n∈N*，n>1，求证：1＋＋＋…＋>.[证明](1)当n＝2时，不等式左边＝1＋>＝右边．(2)假设n＝k(k>1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋>，那么当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋>＋＝>＝＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知对任何n∈N*，n>1，1＋＋＋…＋>均成立.一、解答题11．已知点列An(xn,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…An是线段An－2An－1的中点，…，(1)写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式(n≥3)；(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．[解析](1)当n≥3时，xn＝.(2)a1＝x2－x1＝a，a2＝x3－x2＝－x2＝－...
