第7讲正弦定理、余弦定理及其实际应用基础巩固1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°【答案】B【解析】由已知∠ACB=180°-40°-60°=80°,又∵AC=BC,∴∠A=∠ABC=50°,60°-50°=10°.故灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.2.已知圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边,若abc=16,则内接三角形的面积为()A.2B.8C.D.【答案】C【解析】∵===2R=8,∴sinC=.∴S△ABC=absinC=abc=×16=.3.已知A,B两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地的距离为()A.10kmB.kmC.10kmD.10km【答案】D【解析】利用余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=102+202-2×10×20×=700,故AC=10(km).4.下列判断中正确的是()A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解【答案】B【解析】A:∵a=bsinA,∴有一解;B:∵A>90°,a>b,∴有一解;C:∵a
b>csinB,∴有两解.5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】∵2c2=2a2+2b2+ab,1∴a2+b2-c2=-ab.∴cosC==-<0.则△ABC是钝角三角形.故选A.6.已知△ABC三内角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,且面积S△ABC=(b2+c2-a2),则角A等于()A.45°B.30°C.120°D.15°【答案】A【解析】由S△ABC=(b2+c2-a2)=bcsinA,得sinA==cosA,故A=45°.7.如图,在地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从A处沿正北方向行进xm到达B处发现一个生命迹象,然后向右转105°,行进10m到达C处发现另一生命迹象,这时它向右转135°后继续前行回到出发点,那么x=.【答案】【解析】由题知,∠CBA=75°,∠BCA=45°,从而∠BAC=180°-75°-45°=60°.∵=,∴x=.8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若(b-c)cosA=acosC,则cosA=.【答案】【解析】由(b-c)cosA=acosC,得(b-c)·=a·,即=,由余弦定理,得cosA=.9.(2012·福建卷,13)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为.【答案】-【解析】设△ABC的最小边长为a(m>0),则其余两边长为a,2a,故最大角的余弦值是cosθ===-.10.(2012·安徽卷,16)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.(1)求角A的大小;(2)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长.【解】(1)(方法一)由题设知,2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,因为sinB≠0,所以cosA=.由于0
