第2讲导数的应用(一)单调性、极值问题基础巩固1
函数f(x)=1+x-sinx在区间(0,2π)上是()A
在区间(0,π)上增,在区间(π,2π)上减D
在区间(0,π)上减,在区间(π,2π)上增【答案】A【解析】∵f'(x)=1-cosx>0,∴函数f(x)在区间(0,2π)上单调递增,故选A
函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是()A
由a确定【答案】C【解析】因f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则f(x)在R上是增函数,故不存在极值点
若函数y=a(x3-x)在区间上为减函数,则a的取值范围是()A
解之可得m>6或m0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立
因此应有Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的
故函数f(x)不可能在R上单调递减
拓展延伸13
已知函数f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行
(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象与抛物线y=x2-15x+3恰有三个不同交点,求b的取值范围
【解】(1)f'(x)=3x2-6x+a,由f'(-1)=0,解得a=-9
则f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞);函数f(x)的单调递减区间为(-1,3)
(2)令g(x)=f(x)-=x3-x2+6x+b-3,则原题意等价于方程g(x)=0有三个不同的根
∵g'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),∴函数g(x)在区间(-∞,1),(2,+∞)上递增,在区间(1,2)上递减
于是g(x)的极小值为g(2)=b-10,解得
