第2讲导数的应用(一)单调性、极值问题基础巩固1.函数f(x)=1+x-sinx在区间(0,2π)上是()A.增函数B.减函数C.在区间(0,π)上增,在区间(π,2π)上减D.在区间(0,π)上减,在区间(π,2π)上增【答案】A【解析】∵f'(x)=1-cosx>0,∴函数f(x)在区间(0,2π)上单调递增,故选A.2.函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是()A.2B.1C.0D.由a确定【答案】C【解析】因f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0,则f(x)在R上是增函数,故不存在极值点.3.若函数y=a(x3-x)在区间上为减函数,则a的取值范围是()A.a>0B.-1
1D.00.4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于()A.11或18B.11C.18D.17或18【答案】C【解析】∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,∴f(1)=10,且f'(1)=0,即解得或∵当时,函数在x=1处无极值,故舍去,∴f(x)=x3+4x2-11x+16.故f(2)=18.5.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在区间(0,2)上恰有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根【答案】B【解析】令f(x)=x3-ax2+1,则f'(x)=3x2-2ax=3x.1由f'(x)=0,得x=0或x=a,故当00,即(ex+1)(x+1)>0,解得x>-1.故函数f(x)的单调增区间为(-1,+∞).9.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是.【答案】(-∞,-3)∪(6,+∞)【解析】由题意可知f'(x)=3x2+2mx+m+6=0有两个不等实根,即Δ=4m2-12×(m+6)>0.解之可得m>6或m<-3.故所求实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(6,+∞).10.已知函数f(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R).若y=f(x)图象上的点处的切线斜率为-4,求y=f(x)的极大值.【解】∵f'(x)=x2+2ax-b,∴由题意可知f'(1)=-4且f(1)=-.即解得故f(x)=x3-x2-3x,f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.由此可知,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(↗极大↘极小↗2x)值值故当x=-1时,函数f(x)取极大值.11.设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调性与极值点.【解】(1)f'(x)=3x2-3a,因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,所以即解得a=4,b=24.(2)f'(x)=3(x2-a)(a≠0).当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.当a>0时,由f'(x)=0得x=±.当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(-,)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=-是函数f(x)的极大值点,x=是函数f(x)的极小值点.12.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间.(2)函数f(x)是否为R上的单调递减函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由.【解】(1)∵当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,∴f'(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.令f'(x)>0,即(-x2+2)ex>0,∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.因此应有Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.拓展延伸13.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+b在x=-1处的切线与x轴平行.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象与抛物线y=x2-15x+3恰有三个不同交点,求b的取值范围.【解】(1)f'(x)=3x2-6x+a,由f'(-1)=0,解得a=-9.则f'(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞);函数f(x)的单调递减区间为(-1,3).(2)令g(x)=f(x)-=x3-x2+6x+b-3,则原题意等价于方程g(x)=0有三个不同的根.∵g'(x)=3x2-9x+6=3(x-2)(x-1),∴函数g(x)在区间(-∞,1),(2,+∞)上递增,在区间(1,2)上递减.于是g(x)的极小值为g(2)=b-1<0,且g(x)的极大值为g(1)=b->0,解得
