第三章导数第1讲导数的概念及其运算基础巩固1.下列求导运算正确的是()A.'=1+B.(log2x)'=C.(3x)'=3x·log3eD.(x2cosx)'=-2xsinx【答案】B【解析】由于'=1-,(3x)'=3xln3,(x2cosx)'=2xcosx-x2sinx,从而可知仅B项正确.2.函数f(x)=(x+2a)(x-a)2的导数为()A.2(x2-a2)B.2(x2+a2)C.3(x2-a2)D.3(x2+a2)【答案】C【解析】f'(x)=(x-a)2+(x+2a)[2(x-a)]=3(x2-a2).3.若函数f(x)=在点(x0,f(x0))处的切线平行于x轴,则f(x0)等于()A.-B.C.D.e2【答案】B【解析】∵与x轴平行的切线,其斜率为0,∴f'(x0)===0,从而可得x0=e.故f(x0)=.4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),则b的值为()A.3B.-3C.5D.-5【答案】A【解析】∵对y=x3+ax+b求导,得y'=3x2+a,∴k=y'|x=1=3+a.又点(1,3)为切点,∴解得b=3.5.函数f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f'(x),g'(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足()A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f(x)-g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数【答案】C【解析】因为由f'(x)=g'(x)可得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=C(C为常数).6.已知二次函数f(x)的图象如图甲所示,则其导函数f'(x)的图象大致形状是()甲【答案】B【解析】设二次函数为y=ax2+b(a<0,b>0),则y'=2ax,又∵a<0,∴应选B.7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是()A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末【答案】D1【解析】∵s=t3-t2+2t,∴v=s'(t)=t2-3t+2.令v=0得t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.8.与直线2x-6y+1=0垂直,且与曲线f(x)=x3+3x2-1相切的直线方程是.【答案】3x+y+2=0【解析】设切点的坐标为(x0,+3-1),则由切线与直线2x-6y+1=0垂直,可得切线的斜率为-3,又f'(x)=3x2+6x,故3+6x0=-3,解得x0=-1,于是切点坐标为(-1,1),从而得切线的方程为3x+y+2=0.9.(2012·课标全国卷,13)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.【答案】4x-y-3=0【解析】因为y'=3lnx+4,所以y'|x=1=4.故曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x-1),化为一般式方程为4x-y-3=0.10.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1'(x),f3(x)=f2'(x),…,fn(x)=fn-1'(x)(n∈N*,n≥2),则f1+f2+…+f2012=.【答案】0【解析】f2(x)=f1'(x)=cosx-sinx,f3(x)=(cosx-sinx)'=-sinx-cosx,f4(x)=-cosx+sinx,f5(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,∴f1+f2+…+f2012=f1+f2+f3+f4=0.11.求下列函数的导数:(1)y=x2sinx;(2)y=;(3)y=cos2(x2-x).【解】(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.(2)方法一:y'===.方法二:∵y==1+,∴y'=1'+',即y'=.(3)y'=2cos(x2-x)[cos(x2-x)]'=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)'=2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1)=-(2x-1)sin2(x2-x).12.已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R).若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值.【解】因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以解得a=2,b=-2ln2.13.已知函数f(x)=x3-3x及曲线y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和曲线y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.【解】(1)由f(x)=x3-3x得f'(x)=3x2-3,过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f'(1)=0,故所求的直线方程为y=-2.(2)设过点P(1,-2)的直线l与曲线y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f'(x0)=3-3.又直线过点(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示为=.由题意知=3-3,即-3x0+2=3(-1)(x0-1),解得x0=1(舍去)或x0=-,因此所求直线的斜率为k=3=-.故所求直线的方程为y-(-2)=-(x-1),即9x+4y-1=0.拓展延伸14.已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12和直线m:y=kx+9,又f'(-1)=0.(1)求a的值.2(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是曲线y=g(x)的切线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.【解】(1)∵f'(x)=3ax2+6x-6a,f'(-1)=0,即3a-6-6a=0,∴a=-2.(2)由于直线m恒过定点(0,9),先求直线m是曲线y=g(x)的切线,设切点为(x0,3+6x0+12),∵g'(x0)=6x0+6,∴切线方程为y-(3+6x0+12)=(6x0+6)(x-x0).将点(0,9)代入,得x0=±1,当x0=-1时,切线方程为y=9;当x0=1时,切线方程为y=12x+9.由f'(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,当x=-1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=-18;当x=2时,曲线y=f(x)的切线方程为y=9.因此公切线方程是y=9.又由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.当x=0时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-11;当x=1时,曲线y=f(x)的切线方程为y=12x-10,但公切线方程不是y=12x+9.综上所述,存在k值能使直线m为曲线y=f(x)及y=g(x)的切线,此时k=0,切线方程为y=9.3
