第3章第1节变化率与导数、导数的计算一、选择题(6×5分＝30分)1．(2009·辽宁高考)曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1解析：y′＝()′＝，∴k＝y′|x＝1＝－2，∴切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选D.答案：D2．(2011·潮州一模)若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.答案：A3．(2011·聊城模拟)曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝×1×e2＝.答案：D4．(2011·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末解析：∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.答案：D5．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于()A.B.C.D．1解析：y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝.则x1·x2·…·xn＝··…·＝.答案：B用心爱心专心16．(2009·安徽高考)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析：由已知f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，又θ∈[0，]，∴≤θ＋≤，∴≤sin(θ＋)≤1，∴≤f′(1)≤2.答案：D二、填空题(3×5分＝15分)7．设点P是曲线y＝－x2－3x－3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是________．解析：设切线的斜率为k，则f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.当x＝1时，k有最小值－4.又f(1)＝－，所以切线方程为y＋＝－4(x－1)，即12x＋3y＋8＝0.答案：12x＋3y＋8＝08．(2011·济南第一次质检)某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是s，s的单位是m)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________．解析：s′＝2t－，∴v＝s′|t＝4＝(m/s)．答案：m/s9．(2009·海南高考)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．解析：∵y′＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋x·ex＋2∴y′|x＝0＝3.∴切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.答案：3x－y＋1＝0三、解答题(共37分)10．(12分)(2011·绍兴月考)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.11．(12分)(2010·南昌质检)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求实数a的值．解析：令过(1,0)的直线与y＝x3切于点(x0，y0)，切线斜率为k＝3x02.设切线方程为y＝3x02(x－1)，⇒x03＝3x03－3x02⇒2x03－3x02＝0.用心爱心专心2∴x0＝0或x0＝.故切线方程为y＝0或y＝(x－1)．⇒ax2＋x－9＝0，∵Δ＝0，∴a＝－.⇒ax2＋x－9＝(x－1)又Δ＝0，∴a＝－1综上实数a的取值为a＝－1或a＝－.12．(13分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)；令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.用心爱心专心3
