必考问题9等差数列、等比数列的基本问题1．(2012·辽宁)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()．A．12B．16C．20D．24答案B[由等差数列的性质知，a2＋a10＝a4＋a8＝16.]2．(2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于()．A．1006B．2012C．503D．0答案A[ an＝ncos，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.又2012＝4×503，∴a1＋a2＋…＋a2012＝2＋2＋…＋2＝2×503＝1006.]3．(2012·广东)若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析由等比数列的性质得a2·a4＝a1·a5＝a＝，∴a1·a·a5＝.答案4．(2012·江西)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.解析由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝＝＝11.答案11本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大．(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中．(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键.必备知识等差数列的有关公式与性质如果数列{an}是公差为d的等差数列，那么：(1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋d＝.(2)对正整数m，n，p，q，am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.等比数列的有关公式与性质如果数列{an}是公比为q的等比数列，那么：(1)an＝a1qn，Sn＝1(2)对正整数m，n，p，q，aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，aman＝a⇔m＋n＝2p.等比、等比数列前n项和Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1或m不为偶数时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．必备方法1．运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1，d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．2．深刻理解等差(比)数列的定义，能正确运用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键．解题时应从基础入手，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题．3．等差、等比数列的判定与证明方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d为常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(2)利用中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(n∈N*)⇔{an}是等比数列(注意等比数列的an≠0，q≠0)．(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；an＝cqn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列；Sn＝mqn－m(m为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可．2常考查：①直接利用公式求指定的an或Sn；②利用其性质求参数；③通过适当的转化把非等差(等比)问题转化为等差(等比)问题求解．【例1】►(2011·江西)已知两个等比数列{an}、{bn}满足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．[审题视点](1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解．[听课记录]解(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1...
