必考问题7三角恒等变换与解三角形1．(2012·辽宁)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α＝()．A．－1B．－C.D．1答案A[因为sinα－cosα＝，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.]2．(2012·江西)若＝，则tan2α＝()．A．－B.C．－D.答案B[由＝，等式左边分子、分母同除cosα得，＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.]3．(2012·湖南)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.B.C.D.答案B[设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴S△ABC＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.∴BC边上的高为＝.]4．(2012·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－，则b＝________.解析由余弦定理，得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.答案41．对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本应用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点．2．对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力.1．在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键．2．在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正弦定理、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝.1(4)降幂公式：sin2α＝，cos2α＝.正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.余弦定理及其推论a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.必备方法1．“变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系．如2β与β是倍角关系．此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：β＝(α＋β)－α，＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．2．要充分把握三角函数的变换规律．三角变换时，需会用“切化弦”“弦化切”“辅助角”“1的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心．3．在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正弦定理、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．4．解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正弦定理、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.的化简、求值常考查：①给角求值；②给值求角；③给值求值．【例1】►(2012·广东)已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．[审题视点](1)由f＝可得A的值；(2)化简所给的已知条件，求得cosα、sinβ的值，将cos(α＋β)展开，代入数据即可．[听课记录]解(1)由f＝得Acos＝，即A·cos＝，∴A＝2.(2)由(1)知f(x)＝2cos.2由得解得 α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．(3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活运用...
