必考问题15椭圆、双曲线、抛物线1．(2012·福建)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()．A.B.C.D.答案C[由双曲线中a，b，c的关系c2＝a2＋b2，得32＝a2＋5，∴a2＝4.∴e＝＝.]2．(2012·新课标全国)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为()．A.B．2C．4D．8答案C[抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a＞0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.]3．(2012·山东)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(y＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()．A．x2＝yB．x2＝yC．x2＝8yD．x2＝16y答案D[ 双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，.∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.]4．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.答案圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解，考查直线与曲线的位置关系．复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧．二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想，向量与导数的方法来解决问题的能力.1必备知识椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点P(x，y)在椭圆上．(1)离心率：e＝＝.(2)过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，点P(x，y)在双曲线上．(1)离心率：e＝＝.(2)过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为.抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上．(1)焦半径|CF|＝x1＋.(2)过焦点弦长|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，|CD|＝(其中α为倾斜角)．(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.(4)以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切，以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切．必备方法求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法．(2)待定系数法．①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m＞0，n＞0)．双曲线方程可设为－＝1(mn＞0)．这样可以避免讨论和繁琐的计算．2常考查：①给定利用定义求标准方程；②给定条件利用定义研究椭圆、双曲线、抛物线的几何性质．【例1】►已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值为()．A.B.C.D.[审题视点]结合椭圆、双曲线的定义及余弦定理可求．[听课记录]答案B[因点P在椭圆上又在双曲线上，所以|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2.设|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.]涉及椭圆、双曲线上的点到两焦点的距离问题时，要会运用椭圆、双曲线的定义．涉及抛物线上的点到焦点的距离时，常利用定义转化到抛物线的准线的距离．【突破训练1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________；解析设椭圆方程为＋＝1，由e＝知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为＋＝1.答案＋＝1常考查：...
