必考问题10数列通项的求解与数列求和1．(2011·四川)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()．A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋1答案A[当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1.∴该数列从第二次开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.]2．(2011·安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()．A．15B．12C．－12D．－15答案A[ an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.]3．(2012·全国)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为()．A.B.C.D.答案A[设数列{an}的公差为d，则a1＋4d＝5，S5＝5a1＋d＝15，得d＝1，a1＝1，故an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝－，所以S100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.]4．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝________.解析 Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.答案1本部分是高考重点考查的内容，题型有选择题、填空题和解答题．对于数列的通项问题，求递推数列(以递推形式给出的数列)的通项是一个难点，而数列的求和问题多从数列的通项入手，并与不等式证明或求解结合，有一定难度．(1)牢固掌握等差数列和等比数列的递推公式和通项公式，以一阶线性的递推公式求通项的六种方法(观察法、构造法、猜归法、累加法、累积法、待定系数法)为依托，掌握常见的递推数列的解题方法．对于既非等差又非等比的数列要综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法进行研究，要善于将其转化为特殊数列，这是一种非常重要的学习能力．(2)对于数列求和部分的复习要注意以下几点：①熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式及其应用，这是数列求和的基础；②掌握好分组、裂项、错位相减、倒序相加法这几种重要的求和方法，特别要掌握好裂项与错位相减求和的方法，这是高考考查的重点；③掌握一些与数列求和有关的综合问题的解决方法，如求数列前n项和的最值，研究前n项和所满足的不等式等.1必备知识求通项公式的方法(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an.(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(4)累加法：如an＋1－an＝f(n)，累积法，如＝f(n)．(5)转化法：an＋1＝Aan＋B(A≠0，且A≠1)．常用公式等差数列的前n项和，等比数列的前n项和，1＋2＋3＋…＋n＝，12＋22＋32＋…＋n2＝.常用裂项方法(1)＝－.(2)＝－.必备方法1．利用转化，解决递推公式为Sn与an的关系式：数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目求解特点，消掉一个an或Sn.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉Sn，利用已知递推式，把n换成(n＋1)得到递推式，两式相减即可．若消掉an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的条件n≥2.2．裂项相消法的基本思想是把数列的通项an分拆成an＝bn＋1－bn或者an＝bn－bn＋1或者an＝bn＋2－bn等，从而达到在求和时逐项相消的目的，在解题中要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．3．错位相减法适用于数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，乘以等比数列的公比再错位相减，即依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变为了一个等比数列，从而达到求和的目的.常考查：①已知等差(或等比)数列的相关项数等式，求通项；②已知数列的前n项和Sn，求通项an；③已知数列的递推关系，求通项．【例1】►已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2n＝2an.求证：数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an.[审题视点]由an＝Sn－Sn－1(n...
