专题三40分附加题大突破与抢分秘诀【专题定位】高考中主要考查曲线在矩阵变换下的曲线方程，求二阶矩阵的逆矩阵及二阶矩阵的特征值和特征向量等．如：考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．熟记几种常见变换，对应点间坐标关系；考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；考查矩阵的特征值与特征向量的应用等．附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2题，考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4－1、4－2、4－4、4－5这4个专题的内容，考生从中选2题作答．附加题部分由容易题、中等题和难题组成．容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5∶4∶1.【应对策略】根据《考试说明》提出的要求，控制问题的难度，在本单元的复习中，应该注意突出以下几个方面：1．回归课本，抓好基础知识的落实，高考题“源于课本”，在复习中必须重视对课本中的基础知识、基本方法和基本数学思想的复习，关注课本中的一些重点内容．2．加强训练，提高推理和运算能力，在复习过程中一定要注意加强训练，重视推理论证和运算能力的培养，学会主动地寻求合理、简捷的运算途径，努力提高解题的正确性和有效性．【示例】►如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H为垂足．求证：AO·OH为定值．解题突破由AT为单位圆O的切线，得∠ATH＝∠TOH，由TH⊥OA，得∠OTH＝∠OAT，从而△ATO∽△THO，因此得到＝所以AO·OH为定值．证明因为AT为圆O的切线，TH为OA的垂线，所以∠ATH＝∠TOH，∠ATO＝∠THO，(3分)故直角三角形ATO相似于直角三角形THO，(6分)则＝，即AO·OH＝OT2＝1，即证．(10分)评分细则1得到∠ATH＝∠TOH给3分，如果错误则本题基本不得分，2没有＝，扣3分.【突破训练】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于1E，D，连接EC，CD，若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．解如图，连接OC，因为OA＝OB，CA＝CB，所以OC⊥AB.因为OC是圆的半径，所以AB是圆的切线．(2分)因为ED是直径，所以∠ECD＝90°，所以∠E＋∠EDC＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，所以∠BCD＝∠E，又因为∠CBD＝∠EBC，所以△BCD∽△BEC，所以＝⇒BC2＝BD·BE，(5分)因为tan∠CED＝＝，△BCD∽△BEC，所以＝＝.(7分)设BD＝x，则BC＝2x，因为BC2＝BD·BE，所以(2x)2＝x(x＋6)，所以BD＝2.(9分)所以OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.(10分)【抢分秘诀】(1)平面几何解题时要重视数学语言表达、数学解题格式的规范性．(2)由图形或定理能推到的一些结论要尽可能的表达出来．【示例】►设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．解题突破可先求出MN，再求曲线在MN变换下的曲线方程．解MN＝＝，(3分)设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在MN变换下对应的点为(x′，y′)．则＝(5分)所以即(8分)代入y＝sinx得：y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.(10分)评分细则1正确求出MN得3分.如果不正确本题不给分.2正确表示得8分.3没有正确表示y＝2sin2x，扣1分.【突破训练】已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解设A＝，由＝，得(5分)再由＝3＝，得∴∴A＝.(10分)【抢分秘诀】(1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序．(2)记住求逆矩阵的过程．(3)在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关系．2【示例】►(2012·如皋质量检测)在极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB的最小值．解题突破曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4，直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0先化为直角坐标方程x＋y－7＝0，问题变为求圆上的点到直线上点的距离的最小值．解圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，直线方程为x＋y－7＝0，(5分)圆心到直线的距离d＝＝4，所以(AB)min＝4－2.(10分)【突破训练】在极坐标系中，点O(0,0)，B.(1)求以...
