必考问题8数列的综合应用【真题体验】1．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析在点(ak，a)处的切线方程为：y－a＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak＋1＝，故{an}是a1＝16，q＝的等比数列，即an＝16×n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案212．(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析法一设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列{an}为等差数列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d＝3，①3a5＋9d＝4，②联立①②解得a5＝.法二设自上第一节竹子容量为a1，依次类推，数列{an}为等差数列．又a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4.解得a1＝，d＝，∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.答案3．(2010·南通押题卷)设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式a＋≥λa对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为________．解析a1＝0时，不等式恒成立，当a1≠0时，λ≤＋，将an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋代入上式，并化简得：λ≤2＋，所以λ≤，即λmax＝.答案4．(2012·苏锡常镇调研)设u(n)表示正整数n的个位数，an＝u(n2)－u(n)，则数列{an}的前2012项和等于________．解析由题意可知，数列{an}的项为：0,2,6,2,0,0,2，－4，－8，0,0,2,6,2，……，是以10为周期的周期数列，且一个周期内的10项的和为0，故S2012＝a1＋a2＝2.答案25．(2012·苏中三市调研)已知正方体C1的棱长为18，以C1各个面的中心为顶点的凸多面体为C2，以C2各个面的中心为顶点的凸多面体为C3，以C3各个面的中心为顶点的凸多面体为C4，依次类推．记凸多面体Cn的棱长为an，则a6＝________.解析正方体的各面中心构成正八面体，棱长是正方体棱长的倍，正八面体的各面中心构成正方体，棱长为正八面体的倍，因为a1＝18，所以a2＝18，a3＝6，a4＝6，a5＝2，a6＝2.答案2【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题．(2)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法．(3)数列与函数、不等式的综合问题．【应对策略】能够掌握有关数列问题的基本代数变换方法以及求数列的通项公式、前n项和的基本方法，此外，还要注意到数列与函数、不等式等知识的联系.1必备知识1．数列求和的一般方法数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式．必备方法1．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－bn＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于Sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，an＋2＝an＋1－an，可证其满足an＋6＝an，在求和时，依次6项求和，再求Sn.2．复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式．注意函数与方程思想、整体思想、分...
