必考问题2函数与方程及函数应用【真题体验】1．(2012·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．解析因为函数f(x)是周期为2的函数，所以f(－1)＝f(1)⇒－a＋1＝，又f＝f＝f⇒＝－a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，所以a＋3b＝2－12＝－10.答案－102．(2011·江苏)已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析因为函数f(x)在(－∞，1)，[1，＋∞)都是单调函数，所以由f(1－a)＝f(1＋a)得1－a,1＋a分别在(－∞，1)，[1，＋∞)上，所以①或②①无解，②解得a＝－.答案－3．(2012·天津改编)函数f(x)＝若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的值为________．解析函数y＝f(x)－2有3个零点，即为函数y＝f(x)与y＝2的图象有3个不同的交点，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝2的图象如图，由图象可知a＝2.答案24．(2012·苏州期中调研)已知方程x3＝3－x的解在区间内，n∈Z，则n的值是________．解析令h(x)＝x3－(3－x)＝x3＋x－3， h′(x)＝3x2＋1＞0，∴h(x)在定义域内为增函数，若其有零点则必唯一． h(1)＜0，h＞0，∴h(x)＝0的解在区间内，此时n＝2.答案25．(2012·天一、淮阴、海门中学调研)将一个长宽分别是a，b(0＜b＜a)的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．解析设切去正方形的边长为x，x∈，则该长方体外接球的半径为r＝，可得r2＝[(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2]＝，在x∈存在最小值时，必有0＜＜，解得＜，又0＜b＜a⇒＞1，故的取值范围是.答案【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(2)函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查．【应对策略】方程根的个数的判断、利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点，尤其是利用数形结合确定方程根的个数更是重要考点，在填空题、解答题中都可以进行考查，对基1本函数的图象熟练掌握即可解决此类问题．函数模型的建立、利用不等式或导数求函数最值都可能成为考点，尤其是利用导数求函数最值更是重要考点，一般在解答题中进行考查，难度多以中档题出现．解决此类问题应注意掌握几种常见的函数模型．若涉及分段函数问题，解题时，应注意根据图象信息恰当分类．再者解答应用题要认真审题，理清数量关系，将文字或图形或表格语言转化为数学语言，建立相应的目标函数即可解决此类问题.必备知识1．对于函数y＝f(x)，我们把满足f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，实质上函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，它是实数而不是点，所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的重要性质：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．3．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．4．常见的函数模型：(1)一次函数模型；(2)二次函数模型；(3)正比例和反比例函数模型；(4)指数函数模型；(5)对数函数模型．5．应用函数模型解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答．必备方法1．函数的零点：函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以零点是一个实数，一个使函数值为0的实数．函数的零点分变号零点和不变号零点两种．变号零点可以用二分法求解，不变号零点一般通过函数图象判断，如函数y＝|x－1|有一个零点1，它是不变号零点，所以f(a)·f(b)＜0是函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的充分非必要条件．2．方程根的分布：求方程的根或根的近...
