【成才之路】高中数学 2-5精品练习 新人教A版必修4VIP免费

2.5一、选择题1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为()A．10NB．0NC．5ND.N[答案]C[解析]根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．2m/sC．4m/sD．12m/s[答案]B[解析]设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝＝＝2.3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为()A.B．－C.D．－[答案]B[解析]因为|a|＝2，|b|＝3，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又|a|＝2，|b|＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B.4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移S＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2[答案]D[解析]W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.[答案]C[解析]由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋BA＋PC＝0，即PC＝2AP，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.用心爱心专心16．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)()A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)[答案]C[解析]5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．7．已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则()A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)[答案]C[解析]由条件可知|a－te|2≥|a－e|2对t∈R恒成立，又 |e|＝1，∴t2－2a·e·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．8．已知|OA|＝1，|OB|＝，OA⊥OB，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设OC＝mOA＋nOB，则＝()A.B．3C．3D.[答案]B[解析] OC·OA＝m|OA|2＋nOA·OB＝m，OC·OB＝mOA·OB＋n·|OB|2＝3n，∴＝＝1，∴＝3.二、填空题9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[答案]λ>－且λ≠0[解析] a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．∴，得，∴λ>－且λ≠0.10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且|AB|＝2，则OA·OB＝________.[答案]－2[解析] |AB|＝2，|OA|＝|OB|＝2，用心爱心专心2∴∠AOB＝120°.∴OA·OB＝|OA|·|OB|·cos120°＝－2.三、解答题11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.[证明]以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.∴AD＝，CE＝. AD·CE＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.[证明]如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC＝(2，－2)设AF＝λAC，则BF＝BA＋AF＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA＝(－1,2)由题设BF⊥DA，∴BF·DA＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴BF＝，∴DF＝BF－BD＝，又DC＝(1,0)，∴cos∠ADB＝＝，cos∠FDC＝＝，又∠ADB、∠FDC∈(0，π)，∴∠ADB＝∠FDC.13．(2010·江苏，15)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．[解析](1)由题设知AB＝(3,5)，...