2.5一、选择题1.一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用,两力大小都为5N,则两个力的合力的大小为()A.10NB.0NC.5ND.N[答案]C[解析]根据向量加法的平行四边形法则,合力f的大小为×5=5(N).2.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10m/sB.2m/sC.4m/sD.12m/s[答案]B[解析]设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则|v1|=2,|v|=10,v⊥v1.∴v2=v-v1,v·v1=0,∴|v2|====2.3.(2010·山东日照一中)已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为()A.B.-C.D.-[答案]B[解析]因为|a|=2,|b|=3,又a·b=|a||b|cos〈a,b〉=2×3×cos〈a,b〉=-6,可得cos〈a,b〉=-1.即a,b为共线向量且反向,又|a|=2,|b|=3,所以有3(x1,y1)=-2(x2,y2)⇒x1=-x2,y1=-y2,所以==-,从而选B.4.已知一物体在共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)的作用下产生位移S=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为()A.lg2B.lg5C.1D.2[答案]D[解析]W=(F1+F2)·S=(lg2+lg5,2lg2)·(2lg5,1)=(1,2lg2)·(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2,故选D.5.在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB,则△PBC与△ABC的面积之比是()A.B.C.D.[答案]C[解析]由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故==.用心爱心专心16.点P在平面上作匀速直线运动,速度v=(4,-3),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(速度单位:m/s,长度单位:m)()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)[答案]C[解析]5秒后点P的坐标为:(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5).7.已知向量a,e满足:a≠e,|e|=1,对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则()A.a⊥eB.a⊥(a-e)C.e⊥(a-e)D.(a+e)⊥(a-e)[答案]C[解析]由条件可知|a-te|2≥|a-e|2对t∈R恒成立,又 |e|=1,∴t2-2a·e·t+2a·e-1≥0对t∈R恒成立,即Δ=4(a·e)2-8a·e+4≤0恒成立.∴(a·e-1)2≤0恒成立,而(a·e-1)2≥0,∴a·e-1=0.即a·e=1=e2,∴e·(a-e)=0,即e⊥(a-e).8.已知|OA|=1,|OB|=,OA⊥OB,点C在∠AOB内,∠AOC=30°,设OC=mOA+nOB,则=()A.B.3C.3D.[答案]B[解析] OC·OA=m|OA|2+nOA·OB=m,OC·OB=mOA·OB+n·|OB|2=3n,∴==1,∴=3.二、填空题9.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是________.[答案]λ>-且λ≠0[解析] a与a+λb均不是零向量,夹角为锐角,∴a·(a+λb)>0,∴5+3λ>0,∴λ>-.当a与a+λb同向时,a+λb=ma(m>0),即(1+λ,2+λ)=(m,2m).∴,得,∴λ>-且λ≠0.10.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,且|AB|=2,则OA·OB=________.[答案]-2[解析] |AB|=2,|OA|=|OB|=2,用心爱心专心2∴∠AOB=120°.∴OA·OB=|OA|·|OB|·cos120°=-2.三、解答题11.已知△ABC是直角三角形,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.[证明]以C为原点,CA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设AC=a,则A(a,0),B(0,a),D,C(0,0),E.∴AD=,CE=. AD·CE=-a·a+·a=0,∴AD⊥CE.12.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连结DF,求证:∠ADB=∠FDC.[证明]如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),AC=(2,-2)设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ),又DA=(-1,2)由题设BF⊥DA,∴BF·DA=0,∴-2λ+2(2-2λ)=0,∴λ=.∴BF=,∴DF=BF-BD=,又DC=(1,0),∴cos∠ADB==,cos∠FDC==,又∠ADB、∠FDC∈(0,π),∴∠ADB=∠FDC.13.(2010·江苏,15)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(AB-tOC)·OC=0,求t的值.[解析](1)由题设知AB=(3,5),...