第二章2.32.3.11．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量一组基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e1＋e2解析： 4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴(4e2－6e1)∥(3e1－2e2)．而平行向量不能作为基底，故选B.答案：B2.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋BAB．－BC－BAC.BC－BAD.BC＋BA解析：CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.答案：A3.已知在▱ABCD中，AC与BD相交于O，设AB＝a，AD＝b，AO＝λ1a＋λ2b，则λ1＋λ2等于()A.B.C．1D．2解析：AO＝(AB＋AD)＝a＋b，∴λ1＝λ2＝，λ1＋λ2＝1.答案：C4．已知a，b是两个非零向量，且OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b，则AB与AC的夹角为________．解析：AB＝OB－OA＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，∴AC＝2AB.答案：0°5．已知向量e1，e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为______．解析： e1、e2不共线，由平面向量基本定理可得⇒x－y＝3.答案：36．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使BM＝BC，CN＝CA，AP＝AB，若AB＝a，AC＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．解：如图.MN＝CN－CM＝－AC－CB＝－AC－(AB－AC)＝AC－AB＝b－a.同理可得NP＝a－b，PM＝－MP1＝－(MN＋NP)＝a＋b.(时间：30分钟满分：60分)知识点及角度难易度及题号基础中档稍难用基底表示向量1、2、54、6、87、10向量的夹角39一、选择题(每小题4分，共6分)1．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对解析：平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；C中的向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；而对平面α中的任一向量a，实数λ1、λ2是唯一的．答案：A2．如图所示，矩形ABCD中，若BC＝6e1，DC＝4e2，则OC等于()A．3e1＋2e2B．3e1－2e2C．2e1＋3e2D．2e1－3e2解析：OC＝AC＝(AB＋BC)＝(DC＋BC)＝3e1＋2e2.答案：A3．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是()A.AB与BC的夹角是锐角B.AC与AB的夹角是锐角C.AC与BC的夹角是钝角D.AC与CB的夹角是锐角解析：由两向量夹角定义知，AB与BC的夹角是180°－∠B，AB与AC夹角是∠A，AC与BC夹角是∠C，AC与CB的夹角是180°－∠C.答案：B4．e1，e2为基底向量，已知向量AB＝e1－ke2，CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，若A、B、D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．3解析： CB＝2e1－e2，CD＝3e1－3e2，∴BD＝CD－CB＝(3e1－3e2)－(2e1－e2)＝e1－2e2. A、B、D三点共线，∴AB与BD共线，∴存在唯一的实数λ，使得e1－ke2＝λ(e1－2e2)．即解得k＝2.2答案：A二、填空题(每小题4分，共12分)5．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，对于下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中能作为一组基底的是______(只填写序号)．解析：由于①AD与AB不共线，③CA与DC不共线，所以都可以作为基底．②DA与BC共线，④OD与OB共线，不能作为基底．答案：①③6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋ae2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数a的取值范围是________．解析：由题意可知，a与b不共线，所以a≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于________．解析：如图，在△ACD中，CD＝CA＋AD①在△BCD中，CD＝CB＋BD＝CB－DB②由①＋②×2得3CD＝CA＋2CB，即CD＝CA＋CB.又CD＝CA＋λCB，∴λ＝.答案：三、解答题8．(10分)如图，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设AD＝a，AB＝b，试用a，b为基底表示DC、BC、EF.解： AB∥DC且AB＝2CD，∴DC＝AB＝b.由向量加法的三角形法则，有BC＝BA＋AD＋DC＝－b＋a＋b＝a－b.同理，EF＝EC＋CB＋BF＝DC－BC－AB＝×b－－b＝b－a.9...
