"【世纪金榜】高中数学1.6.2.1直线与平面垂直的性质课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2012·哈尔滨高一检测）已知直线l⊥平面α,直线m平面β.有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④2.（2012·温州高二检测）下列命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一个平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行，其中正确的个数有()（A）1（B）2（C）3（D）43.如图，设平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是B，D,如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的()(A)AC⊥β(B)AC⊥EF(C)AC与BD在β内的射影在同一条直线上(D)AC与α，β所成的角相等4.如图，△ABC中，∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()(A)变大(B)变小(C)不变(D)有时变大有时变小二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·合肥高一检测）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1，AB上的点，若∠B1MN＝90°，则∠C1MN＝________.6.（易错题）如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是___________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形.AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.18.(2012·南昌高一检测)三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A垂直于底面ABC，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，求证：（1）平面AMC1∥平面NB1C；（2）A1B⊥AM.【挑战能力】（10分）如图，在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点.（1）求证：AC⊥平面SBD；（2）若E为BC的中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论.答案解析1.【解析】选B.l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵mβ，∴l⊥m.①正确.l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵mβ,∴α⊥β，③正确.2.【解析】选B.①中两个平面可能平行可能相交；②正确；③两直线可能平行、垂直也可能异面；④正确.3.【解析】选D.∵AB⊥α,CD⊥α,∴AB∥CD,∴A，B，C，D四点共面.选项A，B中的条件都能推出EF⊥平面ABDC，则EF⊥BD.选项C中，由于AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以平面ABDC与平面β垂直，又∵EF⊥AB，∴EF⊥平面ABDC，∴EF⊥BD.选项D中，若AC∥EF，则AC与α、β所成角也相等，但不能推出BD⊥EF.4.【解析】选C.∵l⊥平面ABC，∴BC⊥l.∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.又l∩AC=A,∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴∠PCB=90°.25.【解题指南】先证明MN⊥平面B1C1M，进而求得∠C1MN的度数.【解析】∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∠B1MN是直角，∴MN⊥B1M.又B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面B1C1M.∴MN⊥C1M，∠C1MN＝90°.答案：90°6.【解析】由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.又∵BC⊥AC，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC.∵EF∥PA，PA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴EF⊥BE,EF⊥EC,∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形.答案：6【易错提醒】△PBC是直角三角形容易漏掉，原因是未分析出BC⊥平面PAC.7.【解题指南】证明AE⊥平面PCD即可.【证明】∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA平面PAD，AD平面PAD.∴CD⊥平面PAD，又AE平面PAD，∴AE⊥CD.又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD平面PCD，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，又l⊥平面PCD,∴AE∥l.8.【解析】（1）∵M，N分别为A1B1，AB的中点，∴B1MNA，∴B1N∥AM.又AM平面AMC1，B1N平面AMC1，∴B1N∥平面AMC1，连接MN，在四边形CC1MN中，有MC1∥CN，同理得CN∥平面AMC1.∵CN平面B1CN，B1N平面B1CN，CN∩B1N=N，∴平面AMC1∥平面NB1C.（2）∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1，又三棱柱ABC-A1B1C1侧棱A1A垂直于底面ABC，∴A1A⊥CN，又CN∥C1M，∴A1A⊥C1M.3又A1A∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面AA1B1B.又∵A1B平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B，又AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M.∵AM平面AC1M，∴A1B⊥AM.【挑战能力】【解析】（1）连接SO，∵底面ABCD是菱形，O为AC与BD的交点，∴AC⊥BD.又SA＝SC，∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.（2）取棱SC的中点M，CD的中点N，连接MN，则动点P的轨迹即是线段MN.证明如下：连接EM，EN，∵E是BC中点，M是SC中点，∴EM∥SB，同理EN∥BD.∵AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，∴AC⊥EM，同理AC⊥EN.又EM∩EN＝E，∴AC⊥平面EMN.因此，当P点在线段MN上运动时，总有PE⊥AC.4
