课时提升作业(三十七)直接证明与间接证明一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为()A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(2015·北京模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(2015·东城模拟)在△ABC中,sinAsinC0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>Error:Referencesourcenotfound,故△ABC必是钝角三角形.4.设a,b∈R,已知p:a=b;q:Error:Referencesourcenotfound≤Error:Referencesourcenotfound,则p是q成立的()1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B,p:a=b是q:Error:Referencesourcenotfound≤Error:Referencesourcenotfound成立的充分不必要条件.5.(2015·宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证Error:Referencesourcenotfound0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.Error:Referencesourcenotfound0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.二、填空题(每小题5分,共15分)6.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为.【解析】“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现:”x=a且x=b”的错误答案.7.若P=Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound,Q=Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound(a≥0),则P,Q的大小关系是.【解析】因为P2=2a+7+2Error:Referencesourcenotfound=2a+7+2Error:Referencesourcenotfound,Q2=2a+7+2Error:Referencesourcenotfound=2a+7+2Error:Referencesourcenotfound,所以P20,Q>0,所以P1;②a+b=2;③a+b>2;2④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=Error:Referencesourcenotfound,b=Error:Referencesourcenotfound,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知n≥0,试用分析法证明Error:Referencesourcenotfound-Error:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound,只需证(n+1)2>n2+2n,需证n2+2n+1>n2+2n,只需证1>0,因为1>0显然成立,所以原不等式成立.【方法技巧】分析法解决问题的关键逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找结论成立的充分条件,正确把握转化方向是问题顺利解决的关键.10.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k...
