专题__多边形的角与对角线[1] VIP免费

专题多边形的角与对角线第1页共4页1初中数学竞赛辅导专题讲座多边形的角与对角线知识要点1.⑴n边形的内角和是02180n，外角和是0360(定值)。⑵正n边形的每个内角的度数都是02180nn，每个外角的度数都是0360n。⑶多边形的内角和一定能被0180整除,且边数每增加一条,内角和就增加0180.2.任意凸多边形的所有内(外)角中最多有3个角是锐(钝)角。3.过n边形一个顶点有3n条对角线，这些对角线将三角形分成了2n个三角形，在n边形中共有32nn条对角线。4.一般地，多边形能镶嵌平面需要满足两个条件：⑴拼接在同一个点的各个角的和恰好等于0360（周角）；⑵相邻的多边形有公共边。应用举例例1（2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）(A)360°(B)450°(C)540°(D)720°例2（1988年“辽教杯”上海市初中数学竞赛）一个凸n边形中，除了一个内角外,其余各内角的和为3290,则这个内角的度数是()(A)140°(B)130°(C)120°(D)110°例3（1985年上海市初中数学竞赛）以三角形的三个顶点和它内部的7个点，共10个点为顶点，能把原三角形分割成小三角形的个数是（）(A)11(B)15(C)19(D)不能确定例4（1988年上海市初三数学竞赛）（“希望杯”邀请赛培训题）若凸4n+2边形A1A2……A4n+2(n为自然数)的每个内角都是30°的整数倍，且∠A1=∠A2=∠A3=90°，则n的所有可能值是多少?例5(1995年湖北省黄冈地区初中数学竞赛)⑴计算凸九边形所有对角线的条数,以及以凸十边形顶点为顶点的三角形的个数.⑵在凸九边形每个顶点处任意写一个自然数,在⑴中的三角形中,若三个顶点所标三数之和为奇数,则称该三角形为奇三角形;若三数之和为偶数,则称为偶三角形.试证明:奇三角形个数必为偶数.例6(第七届日本数学奥林匹克竞赛试题)把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形。分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍。请问：①原来的多边形是几边形？②把原来的多边形分割成了多少个多边形？分析与解已知n边形有n个顶点，过一个顶点的所有对角线把n边形分成（n－2）个三角形。因此，知道了一个多边形的边数或顶点数（n），就可以求出它的内角和（n－2）×180°，知道了一个多边形由多少个三角形（m）组成的，就可以求出它的边数或顶点数（m＋2）。设原多边形是由a个三角形组成的，分割后的多边形共由b个三角形组成，a和b都是整数，根据题意有：1.3×a×180°＝b×180°，于是有1.3a=b。由于b是整数，所以1.3a也是整数，a必是10的倍数，于是1.3a是13的倍数，b也是13的倍数。（一）设a=10，则b=13，进而可知原多边形有12个顶点（12条边），而分割后的多边形有15个顶点GFEDCBA专题多边形的角与对角线第2页共4页2（15条边）。由于连结一个多边形的两顶点时，将一个多边形分成两个多边形后，顶点的数目不变，而分出的两个多边形比原来增多2条边。连结多边形的一个顶点与一边上一点时，顶点数目增多1个，而分出的两个多边形比原来增多3条边。连接两边上一点时，顶点数目增多2个，而边数比原来增多4条。要增多（15－12=）3个顶点，增多13条边，有两种连线方法。（见下图）显然原多边形是12边形，两种连结方法都将12边形分成了6个多边形。（二）如果a=20，则b＝26，原多边形有22个顶点，而分割后的多边形有28个顶点，增多了（28－22=）6个顶点，不论怎样连结都不能使分割后的多边形边数总和比原来的多边形增多13条边。因此原多边形不是22边形。如果a更大，则分割后增加的顶点个数更多，不论怎样连结都不符合题目要求。因此原多边形只能是12边形。配套练习1.求下列字母所示的角的和BDACECFEBAGDCBADFEKABCDEFGHIJAFDHEBGCABCDEFG2.（2003年全国初中数学联赛试题第一试）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B.1C.3D.53.(嵊州市2004年初一数学竞赛试题)在凸八边形的所有内角中，钝角至少有（）A.3个B.5C.7D.8个4.（1985年上海市初中数学竞赛）设n为自然数且4n，又设凸n边形中出现锐角的最多个数为M，出现锐角的最少个数为m，则Mm的值是（）(A)3(B)4(C)大于4的一个自然数(D)不能确定5....