四边形辅助线练习题VIP免费

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.一、和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3图4说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的长.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD为中线，求证：.ABDC类题1．已知：如图，AD为的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形.例2．已知：如图，在中，，M为AB中点，P、Q分别在AC、BC上，且于M.求证：.类题2．已知：的边BC的中点为N，过A的任一直线于D，于E.求证：NE=ND.ABDCEFAPMQBC三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，中，D、E分别为AB、AC上点，且BD=CE，M、N为BE、CD中点，连MN交AB、AC于P、Q，求证：AP=AQ．类题3．已知：如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线中点，AB>CD.求证：.类题4．如图，中，AD是高，CE为中线，，G为垂足，DC=BE.求证：（1）G是CE的中点；（2）.AEDGCBADPBCQEMNADFEBC四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在中，，AB=AC，D为BC边中点，P为BC上一点，于F，于E.求证：DF=DE.类题5．已知：如图，矩形ABCD，E为CB延长线上一点，且AC=CE，F为AE中点，求证：.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法ADFBC（1）EADBC（2）EGADBC（3）EEAFEDPCBBDCFEA例5．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，M为CD的中点.求证：AM=MB.类题6．已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC中点，于F.求证：.【作业】1、已知△ABC和△DBE为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A、B、D在同一直线上，M、N、P分别是AD、AC、DE...