数学高考综合能力题选讲20曲线轨迹的探求100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质．从这个角度来说，轨迹问题成为解析几何高考命题的重点和热点也就不足为奇了．探求动点的轨迹，主要有以下方法：（1）定义法：若能结合题目条件分析出轨迹是什么曲线，则可利用曲线的定义得到结论．（2）直接法：直接建立动点所满足的关系式，然后通过化简方程得出结论．（3）间接法：又分为相关点法、参数法、交轨法等．解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程．范例选讲例1已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1．（Ⅰ）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；（Ⅱ）求此双曲线的方程；（Ⅲ）设此双曲线的左右焦点分别是，Q是双曲线右支上的动点，过作的平分线的垂线，求垂足M的轨迹．讲解：（Ⅰ）可考虑反证法．证明：设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则由，得，所以，．假设存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线，则其渐近线方程为．在此条件之下，一方面，我们当然可以设双曲线方程为：，然后把用表示，利用的最小值为1，推出矛盾．而另一方面，是否有更简捷的办法呢
由于在前面的解答过程中已经求出了双曲线的渐近线，不妨作大胆的猜想：“点A到渐近线的距离大于1”．经过验证，猜想正确．（事实上，点A（2，0）到渐近线的距离为）．所以双曲线上动点到点A的距离都超过1．所以，不存在满足条件且焦点在y轴上的双曲线．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可设双曲线的方程为：，则这个双曲线上任一点到点的距离为：∵，∴若，则当时，有最小值，由，解得（舍去）；若，则当时，有最小值，由，解得；∴双曲线的方程为：（Ⅲ）解：设点M的坐标为（x，y），延长与交于点T，连接OM．∵QM平分，且
