例1.电报发射台发出‘·’和‘–’的比例为5:3，由于干扰，传送（·）时失真的概率为2/5，传送‘–’时失真的概率为1/3，求接受台收到‘·’时发出信号恰是‘·’的概率。解设‘收到‘·’’，‘发出‘·’’，由贝叶斯公式例2.若随机变量与的联合分布律为YX-10100.070.180.1510.080.320.20求：（1）与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）的分布律；（4）与的相关系数。解：（1）（2）的分布律为的分布律为（3）的分布律为（4）因为则与的相关系数，可见它们无关。例3.给定随机过程，其中和是常数，在区间内为均匀分布的随机变量。现定义一个新的随机过程。求：（1）的自相关函数；（2）与的互相关函数；（3）与是否为宽平稳；（4）与是否为联合平稳。解：（1）（2）（3）所以为宽平稳过程。所以为宽平稳过程。例4.简述宽平稳随机过程的自相关函数的性质，并判断下面图形所表示的函数可否作为实的宽平稳随机过程的自相关函数。答：宽平稳随机过程的自相关函数的性质为：1.平稳过程的自相关函数在上的值是非负值。2.即自相关函数在是变量的偶函数。3.即自相关函数在上具有最大值。4.若平稳过程X(t)满足条件X(t+T)=X(t)，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期。周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。5.若平稳过程X(t)含有一个周期分量，那么Rx()也可能含有一个同周期的周期分量。6.若平稳过程中不含有任何周期分量，则有上图中所表示的函数都不可作为实的宽平稳随机过程的自相关函数。例5.已知平稳过程的物理功率谱密度为，①求的功率谱密度和自相关函数？画出的图形。②判断过程是白噪声还是色噪声？给出理由。例6.随机电压信号在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数、和，k为任意整数；（2）的平稳性。解：(1)(2)由于任意k阶概率密度函数与t无关，因此它是严平稳的。例7.随机信号与的实测样本函数如下题图(a)与(b)所示，试说明它们是否均值各态历经。(a)(b)解：由均值各态历经信号的物理意义：只要观测的时间足够长，每个样本函数都将经历信号的各个状态，结合题图可见：（a）不可能是均值各态历经信号；（b）很可能是均值各态历经信号。例8.具有自相关函数的白噪声通过下图所示的理想带通滤波器，求输出的总噪声功率P。解：，例9.是的Hilbert变换，请证明若，则证明：例10.对于窄带平稳随机过程，若已知，求证：。证明：
