特征向量计算VIP免费

第8章矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法－矩阵特征值及特征向量的计算数值计算方法－矩阵特征值及特征向量的计算电子科技大学物理电子学院电子科技大学物理电子学院赖生建赖生建主要内容主要内容一．一．问题的提出问题的提出二．二．按模最大最小特征值计算按模最大最小特征值计算三．三．计算实对称矩阵的雅克比法计算实对称矩阵的雅克比法四．四．QRQR法法1.1.问题的提出问题的提出在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组在数学和物理中，需要处理线性方程组，方程组的特性就是其系数矩阵的特征，即求的特性就是其系数矩阵的特征，即求矩阵计算矩矩阵计算矩阵的特征值及其特征向量阵的特征值及其特征向量。如波导模式问题。如波导模式问题其特征值就是其特征值就是代数方程代数方程111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212()0nnnnnnaaaaaaaaaIAaa1111xx11++aa1212xx22+····++····+aa11nnxxnn=b=b11aa2121xx11++aa2222xx22+····++····+aa22nnxxnn=b=b22··················································································aann11xx11++aann22xx22+····++····+aannnnxxnn=b=bnnφ(λ)φ(λ)是关于是关于λλ的的nn次多项式次多项式也称为矩阵也称为矩阵AA特征方程特征方程。它的。它的nn个根，称为个根，称为AA的的特征值特征值。。λλ是是AA的特征值时，相应的方程的特征值时，相应的方程的非零解的非零解xx，称为对应特征值，称为对应特征值λλ的特征向量。的特征向量。1111()0nnnnccc1.问题提出()0IAx问题：问题：①①当当AA的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求的阶数比较高时，化简特征方程很复杂，求解特征方程也困难。解特征方程也困难。②②有些问题只要求最大特征值及特征向量。有些问题只要求最大特征值及特征向量。③③有些问题只要求最小特征值及特征向量。有些问题只要求最小特征值及特征向量。④④需要计算所有特征值及特征向量。需要计算所有特征值及特征向量。1.问题提出2.2.按模最大最小特征值求法按模最大最小特征值求法迭代计算方法迭代计算方法。。幂法幂法是求解最大特征值及特征向是求解最大特征值及特征向量的方法。量的方法。设设nn阶矩阵有阶矩阵有nn个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量x1,x2,…,x1,x2,…,xnxn，对应的特征向量，对应的特征向量λ1,λ2,…,λnλ1,λ2,…,λn，并按模的大，并按模的大小排列小排列有有22种情况讨论。种情况讨论。12n（（11））任取初始向量任取初始向量vv00，由矩阵，由矩阵AA的的nn个线性无关个线性无关的特的特征向量线性表示征向量线性表示设设a1a1不等于不等于00，从，从vv00出发做一系列迭代出发做一系列迭代12n2.最大最小模(1)(1)幂法幂法01122nnaaavxxx1(0,1,2,...)kkkvAv2.最大最小模(1)(1)幂法幂法101122nnaaaAAvvxxxkkkAxx111222nnnaaaxxx2210AAvvv222111222nnnaaaxxx10kkkAAvvv111222kkknnnaaaxxx21112211kkknknnaaavxxx12,3,...iin,1lim0kik11kkvv具体计算具体计算λ1λ1主要求矩阵主要求矩阵AA的幂的幂AAkk与已知向量与已知向量vv00的乘积，故称的乘积，故称幂法幂法。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于。是一种迭代法，其迭代的收敛速度取决于下面的比值下面的比值因反复计算因反复计算AA与向量与向量AAk-1k-1vv00的乘积，会出现各分的乘积，会出现各分量值过大或过小，量值过大或过小，计算机会溢出。如何解决计算机会溢出。如何解决？？2.最大最小模(1)(1)幂法幂法11kjkjvv21/方法方法：采...