概率统计和随机过程课件§4.3 二维随机变量函数的分布VIP免费

问题：已知二维随机变量(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z的密度函数方法：从求Z的分布函数出发，将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件建立一个新的二维随机变量(Z,X)或(Z,Y),求其边缘分布得Z的密度函数二维连续型随机变量函数的分布§3.4二维随机变量函数的分布正态随机变量的情形若X,Y相互独立,),(~),,(~222211NYNX则),(~222121NYXniNXiii,,2,1),,(~2若nXXX,,,21相互独立,则),(~1211niiniiniiNX和的分布：Z=X+Y另一种计算fZ(z)的方法:先构造一个新的二维随机变量(Z,U),它们是(X,Y)的函数，而Z=aX+bY+c或（X,Y）的其他函数求(Z,U)的联合密度函数f(z,u)求边缘密度fZ(z)设),(),(yxruyxgz存在唯一的反函数：h,s有连续的偏导数，记uszsuhzhuzJ),(),(),(uzsyuzhx则1(,)((,),(,))||(,)(,)UZXYfzufhzuszuJxyDzuD已知(X,Y)的联合密度fXY(x,y)求(Z,U)的联合密度函数fZU(z,u)的方法：利用此种方法也可以求某些其他的函数的密度例如已知(X,Y)的联合概率密度f(x,y)，Z=X/Y,求fZ(z)令YUYXZ/UYZUX|||10|||uzuJ||,),(uuzufuzfZUduuzfzfZUZ),()(duuuzuf||),(例：商的分布：Z=X/Y例4已知(X,Y)的联合分布函数为其他,00,0,1),()(yxeeeyxFyxyx求Z=X/Y的概率密度函数解其他,00,0,),()(yxeyxfyxduuuzufzfZ||),()(其他,00,0,),()(uzeuzufuzuduuuzufzfZ||),()(uz其他,0,0,0)1(zuduezu其他,0,0,)1(12zz但是,当反函数不唯一时,或不易求时，仍需用分布函数法(3)平方和的分布：Z=X2+Y2设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)则)()(22zYXPzFZ,0),(,0,022zdxdyyxfzzyx,0,)sin,cos(,0,0020zrdrrrfdzz,0,)sin,cos(21,0,0)(20zdzzfzzfZ例如，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，Z=X2+Y2,则,0,212121,0,0)(202sin2cos22zdeezzfzzZ,0,21,0,0)(2zezzfzZ称为自由度为2的2分布若nXXX,,,21相互独立，且niNXi,,2,1),1,0(~22221nXXXZ则所服从的分布称为自由度为n的2分布它的概率密度函数为,0,221,0,0)(2122zeznzzfznZn其中0)(01xdtetxtx，—称为函数!)1(),()1(211)1(nnxxx，，自由度为5的2分布的密度函数图形2.557.51012.5150.0250.050.0750.10.1250.152.557.51012.5150.050.10.150.20.250.30.35自由度分别为1,2,5,8,10的2分布的密度函数图形(4)极值分布：即极大值，极小值的分布对于离散型随机变量的极值分布可直接计算重点：相互独立的随机变量的极值分布max{X,Y}P100.750.25例5X,Y相互独立,X,Y~参数为0.5的0-1分布求M=max{X,Y}的概率分布解YXpij10100.250.250.250.25max,(){max(,)}{,}(,)(,)xzyzFzPXYzPXzYzfxydxdyFzzmax()(max{,})FzPXYz(,)PXzYz()()PXzPYz()()XYFzFz对于连续型随机变量，设X,Y,X~FX(x),Y~FY(y),M=max{X,Y},N=min{X,Y},求M,N的分布函数.特别地X,Y相互独立时min(){min(,)}1{min(,)}FzPXYzPXYz,1{,}1(,)xzyzPXzYzfxydxdy1[(,)(,)(,)(,)]FFzFzFzz1[1()()(,)]XYFzFzFzz()()(,)XYFzFzFzz)},(min{)(vYXPvFN)},(min{1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP))(1))((1(1vFvFYX特别地X,Y相互独立时推广至相互独立的n个随机变量的情形：nXXX,,,21相互独立，且nixFXiii,,2,1),(~设},,,min{},,,max{2121nnXXXNXXXM则11()()()1(1())nMiinNiiFzFzFzFz例6设系统L由相互独立的n个元件组成，连接方式为(1)串联；(2)并联；(3)冷贮备(起初由一个元件工作，其它n–1个元件做冷贮...