专升本辅导-第2讲极限与连续VIP专享VIP免费

台州职业技术学院数学教研室一、复习要求（1）理解极限的概念（只要求极限的描述性定义），能根据极限概念分析函数的变化趋势．会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件．（2）理解极限的唯一性、有界性、和保号性，掌握极限的四则运算法则．（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系．会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）．会运用等价无穷小量代换求极限．（4）理解极限存在的两个收敛准则（夹逼准则和单调有界准则）。掌握用两个重要极限求极限的方法．（5）理解函数在一点连续的概念，函数在一点处连续与函数在该处极限存在的关系，会判断分段函数在分段点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系．（6）会求函数的间断点及确定其类型．（7）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题．（8）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限．第2讲极限与连续台州职业技术学院数学教研室lim()xfxA000lim()lim()lim()xxxxxxfxAfxfxA()fxx函数当时的极限，是指自变量x无限接近于•时，函数的变化趋势()fx（1）描述性语言：若x无限接近于•时，的值与某一常数A无限接近，（2）极限存在的充分必要条件：利用它可以判断分段函数有分段点的极限是否存在二、内容提要1.极限概念时的极限是A，记作x()fx则称当台州职业技术学院数学教研室lim()xfxA（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小．要注意，无穷小是变量，任何绝对值很小的数都不是无穷小量（0可以看作无穷小量）．（3）运算性质a．有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量；b．有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量；c．有界量与无穷小量的乘积是无穷小量．2.无穷小量（2）无穷小与极限的关系:x()()xfxA当时，是一个无穷小量．00型不定式．注意：两个无穷小量之商是台州职业技术学院数学教研室lim0较高阶的无穷小量，记作是，则称()o,（4）无穷小的比较．设是同一过程中的无穷小量，如果较低阶的无穷小量；是或称是等价无穷小量，记作与~特别当C＝1时，称．与是同阶无穷小量，lim0C（C为常数），则称如果()O记作台州职业技术学院数学教研室x()fx（1）定义：若时，的绝对值变得任意大，则称在该过程中，()fx为无穷大，记为记号，不是数．注意：是（2）无穷大量与无穷小量一样都是变量，与自变量变化有关．无穷小“”量（不零值的无穷小量）与无穷大恰好是互为倒数关系的两个量．3.无穷大量lim()xfx台州职业技术学院数学教研室lim()limlimuvuvlim()limlimuvuvlimlim(lim0)limuuvvvlim,limuv极限的四则运算．对于同一极限过程，若存在，则有limulimv注意：这些法则只有在和存在时方可使用．4.极限的运算台州职业技术学院数学教研室其特点是型未定式，类似的有001limsin1xxx其特点是型未定式，类似的有10lim()0xxvx0sin()lim1()xxvxvx一般地可有，若，则1lim(1)nnen10lim(1)xxxe（n为正整数）5.两个重要极限0sinlim1xxx（1）sinlim1xxx01limsin1xxx注意：1lim(1)xxex（2）0lim()xxgx0()1lim[1]()gxxxegx，则一般地可有，若台州职业技术学院数学教研室0x0xxx（1）改变量．当自变量从变到x时，称为自变量的改变量，相应函数值从0()fx0()fxx变到，称00()()yfxxfx为函数改变量．可以是0．xyy均可正可负，（2）函数在一点连续的定义：即当自变量改变量趋向于0时，函数的改变量也趋向于0．()fx0x即函数在处的极限值等于函数在该点的值6.函数的连续性0lim0xya．00lim()()xxfxfxb．台州职业技术学院数学教研室上的连续函数是上连续，或在()fx[,]ab()fx[,]ab00lim[()][lim()]xxxxfxfx内连续，或在(,)ab()fx(,)ab若函数在内每一点连续，则称连续函数求极限时，极限的符号可与函数符号交换，即若0lim()xxx()fx存在，且其值属于的连续区间内，则（3）连续函数...